Resolver : $ \left(1+x^{2}\right) \frac{d y}{d x}+2 x y=4 x^{2} $

Question

Resuelve la siguiente EDO : $$ \left(1+x^{2}\right) \frac{d y}{d x}+2 x y=4 x^{2} $$

Después de reordenar obtengo : $$\frac{dy}{dx}=\frac{4x^{2}-2xy}{1+x^{2}}$$ por favor ayúdame después de este paso.

Answer 1

No te reorganices así. Haz el método del factor de integración en su lugar.

De hecho, el lado izquierdo es la regla del producto para $(\mu y)'$ para alguna función $\mu(x)$ ... ¿puedes ver lo que $\mu$ ¿lo es?

Answer 2

Se trata de una ED lineal. Reordenando esto tenemos que \begin{align*} &\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1 + x^2}\cdot y = \frac{4x^2}{1 + x^2}\\ \implies&\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y = Q(x) \end{align*}
Ahora el factor integrador es $$ I = e^{\int{{2x}/{1 + x^2}}dx} = e^{{{\ln(1 + x^2)}}} = 1 + x^2$$ Al multiplicar por el factor integrador y al integrar obtenemos este $$y \cdot I = \int Q(x) \cdot I dx + C $$ Y en sustitución de $I$ tenemos que \begin{align*} &~y (1 + x^2) = \int 4x^2 + C\\ \implies &~ y \cdot (1 + x^2) = \frac{4}{3} \cdot x^3 + C \end{align*}

Answer 3

$$\left(1+x^{2}\right) \frac{d y}{d x}+2 x y=4 x^{2}$$ $$\left((1+x^2)y\right)'=4x^2$$ Integrar.