¿Cómo se dibuja la red de subgrupos de este grupo?

Question

Preguntas: El grupo de simetría de un pentágono regular es un grupo de orden 10. Demostrar que tiene subgrupos de cada uno de los órdenes permitidos por el teorema de Lagrange, y esbozar la red de subgrupos.

Tengo los subgrupos:

Orden 1: {identidad}

Orden 2: {identidad y un reflejo}

Orden 5: {identidad y 4 rotaciones}

Orden 10: todo el grupo

¿Cómo se dibuja una celosía para esto?

Answer 1

Normalmente Diagramas de Hasse de celosías se dibujan de forma que las "cosas grandes" estén en la parte superior, y una línea entre elementos indica que no hay ningún otro nodo entre esos dos elementos.

Aquí tienes un comienzo (tendrás que completarlo)

El grupo diedro para el pentágono no es muy divertido ya que hay muy pocos divisores de $10$ . Conseguirás un ejercicio mucho más interesante si pruebas el grupo diedro para el hexágono. ¡Te animo a que lo pruebes!

Answer 2

Por Lagrange, los subgrupos de orden $2$ y $5$ sólo tienen en común el elemento de identidad. Creo que esto debería permitirte dibujar la red.

Answer 3

Para dibujar el entramado anotarás todos los subgrupos que has encontrado (incluyendo G y el grupo vacío) y dibujarás una línea dirigida desde cada subgrupo a otros en los que se pueda incluir. G debe resultar el elemento mayor de la red (por tanto, todos los subgrupos deben tener una arista hacia G) y $\emptyset$ el menor elemento (por tanto, todos los grupos deben tener una arista del conjunto vacío).