Motivación de la desigualdad triangular

Question

La desigualdad triangular se utiliza en uno u otro contexto de análisis. Por citar algunos $$ \|x+y\| \leq \|x\| + \|y\| $$

$$ d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y) $$

$$ \mu(A \cup B) \leq \mu(A) + \mu(B) $$

¿Cuál es la motivación para imponerlo? Intuitivamente, parece que si no imponemos la desigualdad triangular, el espacio se colapsará hasta convertirse en un espacio trivial en algún sentido. No soy capaz de expresarlo formalmente. Agradecería si alguien pudiera arrojar algo de luz sobre esto y la motivación de la desigualdad de triángulos.

Answer 1

Cualquier noción razonable de distancia satisface la desigualdad del triángulo, ya que si se puede llegar desde el punto $A$ para señalar $B$ utilizando una ruta de longitud $d(A, B)$ y desde el punto $B$ para señalar $C$ utilizando una ruta de longitud $d(B, C)$ se puede llegar claramente desde el punto $A$ para señalar $C$ utilizando una ruta de longitud $d(A, B) + d(B, C)$ y la ruta óptima (de longitud $d(A, C)$ ) por lo tanto no puede ser más largo que esto. (Este argumento es completamente riguroso en un métrica intrínseca pero no hay razón para no tomarlo como motivación en general).

Lawvere se dio cuenta de que el argumento anterior se parece mucho a la composición de morfismos en una categoría, y eso le llevó al argumento definición categórica de espacios métricos como ciertos tipos de categorías enriquecidas. Desde esta perspectiva, ni los axiomas de simetría ni los de definitividad positiva son particularmente naturales, pero la desigualdad triangular sigue siendo muy natural.

@Rasmus: dejar $x = y$ en la desigualdad triangular inversa da $0 \ge 2d(x, z)$ por lo que el único "espacio métrico inverso" es un punto.

Answer 2

Parece que no puedo añadir comentarios así que he decidido publicar esto como respuesta, pido disculpas si parece trivial o redundante. Mi punto de vista es que la mayoría de las ocurrencias de estas desigualdades son sólo principios mínimos (algo que se podría resumir como "min $\le$ cualquiera"). En cada caso, la cantidad (distancia, norma, dimensión, cardinal...) puede considerarse como un mínimo :

• La distancia entre dos puntos es la longitud del camino más corto entre ellos

• La dimensión de un espacio vectorial tamaño más pequeño para un sistema de generador

• El cardinal de un conjunto es el menor $n$ para el que su conjunto puede incrustarse en $[\!|1,n|\!]$

...

En ese entorno, la desigualdad del triángulo establece más o menos que el lado derecho corresponde a una posibilidad (de camino, conjunto generador, incrustación...) :

• Un camino desde $x$ a $z$ y luego $z$ a $y$ es una ruta desde $x$ a $y$ .

• La unión de un conjunto generador da un conjunto generador para la suma.

• Si puede incrustar $A$ en $A'$ y $B$ en $B'$ entonces $A \cup B$ puede incrustarse en la unión disjunta de $A'$ y $B'$

...

Answer 3

En el contexto de los espacios normados, la subaditividad garantiza la convexidad local y que se puede aplicar el teorema de Hahn-Banach. Por ejemplo, $L^p[0,1]$ con $0<p<1$ no es localmente convexa y, lo que es peor, no tiene funciones lineales continuas distintas de cero. Si se intenta definir una "norma" mediante $\|f\|_p = \left(\int |f|^p\right)^{1/p}$ no es subaditiva, aunque satisface $\|\lambda f\|_p=|\lambda|\|f\|_p$ si $\lambda$ es escalar. En su lugar, puede definir una métrica mediante $d(f,g)=\int |f-g|^p$ lo que da $L^p$ la estructura de un espacio F. La desigualdad del triángulo queda así fijada, pero los escalares ya no salen bien, y la convexidad local se pierde a pesar de todo.

De hecho, existe un " desigualdad inversa de Minkowski ": si $f$ y $g$ en $L^p$ no son negativos, $0<p<1$ entonces $\|f\|_p+\|g\|_p\leq \|f+g\|_p$ .