Integre $\int{ \frac{z - Ru}{(R^2 + z^2 - 2Rzu)^{3/2}} du }$

Question

Esta integral viene de un libro de física cuando se calcula el campo de una esfera uniformemente cargada (sin la Ley de Gauss).

Dice que se puede hacer por fracciones parciales, pero no me imagino cómo.

Answer 1

Como GEdgar señaló en un comentario, esto es

$$\frac{1}{2}\int\frac{f'(z)}{f(z)^{3/2}}\mathrm du\;,$$

con $f(z)=R^2 + z^2 - 2Rzu$ por lo que quizás la forma más sencilla de hacerlo sea

$$ \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\int\frac{f'(z)}{f(z)^{3/2}}\mathrm du &=& -\int\frac{\mathrm d}{\mathrm dz}f(z)^{-1/2}\mathrm du \\ &=& -\frac{\mathrm d}{\mathrm dz}\int f(z)^{-1/2}\mathrm du \\ &=& -\frac{\mathrm d}{\mathrm dz}\int(R^2 + z^2 - 2Rzu)^{-1/2}\mathrm du \\ &=& \frac{\mathrm d}{\mathrm dz}\frac{(R^2 + z^2 - 2Rzu)^{1/2}}{Rz}\;. \end{eqnarray} $$

Answer 2

Si efectivamente es la integral con respecto a $u$ que desee, y $z$ es una constante de nombre extraño, haga la sustitución $w=R^2+z^2 -2Rzu$ . A pesar de las apariencias, se trata de una simple sustitución lineal.

Sigue el proceso, sin olvidar que $dw=-2Rz du$ .

Se obtiene una integral de la forma $$\int \frac{A+Bw}{w^{3/2}} dw.$$ donde $A$ y $B$ son constantes algo desordenadas. Divide el integrando en dos partes, $A/w^{3/2}$ y $B/w^{1/2}$ .

Si en su integral $du$ es un error tipográfico de $dz$ la vida es aún más sencilla, haga la misma sustitución y obtendrá $dw/2$ arriba.

Answer 3

Sea $\sqrt{R^2+z^2-2Rzu}=t$ y diferenciando ambos lados se obtiene

$\dfrac{-2Rz}{2\sqrt{R^2+z^2-2Rzu}} du = dt$ lo que equivale a $\dfrac{-Rz}{t}du=dt$ . Sustituyendo esto,

$\displaystyle \int{ \frac{z-\frac{R^2+z^2-t^2}{2z}}{t^3} \frac{-t}{Rz} dt}=\int{ \frac{-R^2+z^2+t^2}{2z} \frac{-1}{Rzt^2} dt} = \frac{1}{2Rz^2} \int{ (\frac{R^2-z^2}{t^2} -1) dt}$ .

Supongo que ahora puedes hacerlo.

Answer 4

$\newcommand{\angles}[1]{\left\langle\, #1 \,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\, #1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, #1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, #1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\dsc}[1]{\displaystyle{\color{red}{#1}}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\Li}[1]{\,{\rm Li}_{#1}} \newcommand{\norm}[1]{\left\vert\left\vert\, #1\,\right\vert\right\vert} \newcommand{\pars}[1]{\left(\, #1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large A}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert}$ \begin{align}&\color{#66f}{\large% \int_{-1}^{1}{z - Ru \over \pars{R^{2} + z^{2} - 2Rzu}^{3/2}}\,\dd u} =\int_{u\ =\ -1}^{u\ =\ 1}\pars{z - Ru}\, \dd\pars{1/\pars{Rz} \over \root{R^{2} + z^{2} - 2Rzu}} \\[5mm]&=\left.{1 \over Rz}\, {z - Ru \over \root{R^{2} + z^{2} - 2Rzu}}\,\right\vert_{\,u\ =\ -1}^{\,u\ =\ 1} -\int_{-1}^{1}{1 \over Rz}\,{-R \over \root{R^{2} + z^{2} - 2Rzu}}\,\dd u \\[1cm]&={1 \over Rz}\pars{{z - R \over \root{R^{2} + z^{2} - 2Rz}} -{z + R \over \root{R^{2} + z^{2} + 2Rz}}} \\[5mm]&\phantom{=}+{1 \over z\,d_{>}} \int_{-1}^{1}{\dd u \over \root{1 - 2\pars{d_{<}/d_{>}}u + \pars{d_{<}/d_{>}}^{2}}} \quad\mbox{where}\quad \left\{\begin{array}{lcl} d_{<} & \equiv & \min\pars{\verts{R},\verts{z}} \\[2mm] d_{>} & \equiv & \max\pars{\verts{R},\verts{z}} \end{array} \De acuerdo. \Fin.

En la última integral, el integrando puede expandirse en Polinomías de Legendre $\ds{\,{\rm P}_{\ell}:\bracks{-1,1} \to {\mathbb R}}$ , $\ds{\ell = 0,1,2,3,\ldots}$ , $\ds{\int_{-1}^{1}\,{\rm P}\ell\pars{x}\,{\rm P}\ell'\pars{x} ={2\,\delta_{\ell\ell'} \over 2\ell + 1}}$ . Entonces,

\begin{align}&\color{#66f}{\large% \int_{-1}^{1}{z - Ru \over \pars{R^{2} + z^{2} - 2Rzu}^{3/2}}\,\dd u} \quad\pars{~\mbox{Note that}\ \,{\rm P}_{0}\pars{x} = 1\,,\ \forall\ x \in \bracks{-1,1}~} \\[5mm]&={\sgn\pars{z - R} - \sgn\pars{z + R} \over Rz} +{1 \over z\,d_{>}} \sum_{\ell\ =\ 0}^{\infty}\pars{d_{<} \over d_{>}}^{\ell}\ \overbrace{% \int_{-1}^{1}\,{\rm P}_{\ell}\pars{u}\,\dd u} ^{\ds{=\ \dsc{2\,\delta_{\ell,0}}}} \\[5mm]&=\color{#66f}{\large% {1 \over z}\bracks{{\sgn\pars{z - R} - \sgn\pars{z + R} \over R} +{2 \over d_{>}}}} \end{align}

w $\ds{\quad\left\{\begin{array}{lcl} d_{<} & \equiv & \min\pars{\verts{R},\verts{z}} \\[2mm] d_{>} & \equiv & \max\pars{\verts{R},\verts{z}} \end{array}\right.}$