Preguntas difíciles de racionalización denomiatoria

Question

Se trata de dos preguntas de una oposición sobre irracionales en las que se supone que debo simplificar para que coincida con una de las opciones dadas.

PREGUNTA 1: El valor de $$ \frac {2 (\sqrt 2+ \sqrt6)}{3(\sqrt {2 + \sqrt 3})} + \sqrt {2 + \sqrt 3}+ \sqrt {2 - \sqrt 3}$$ es

A. $\frac {3+4 \sqrt 6}{3}$

B. $\frac {4+3 \sqrt 6}{3}$

C. $\frac {3+4 \sqrt 6}{4}$

D. $\frac {4- 3\sqrt 6}{3}$

He podido resolverlo hasta ahora:

Tomando denominador común, obtengo

$$ \frac {2 (\sqrt 2+ \sqrt6) + 3(\sqrt {2 + \sqrt 3})(\sqrt {2 + \sqrt 3})+ 3(\sqrt {2 + \sqrt 3})\sqrt {2 - \sqrt 3}}{3(\sqrt {2 + \sqrt 3})}$$

Después de lo cual:

$$ \frac {2 (\sqrt 2+ \sqrt6) + 3( {2 + \sqrt 3})+ 3(\sqrt {2^2 - \sqrt 3^2})}{3(\sqrt {2 + \sqrt 3})}$$

que da

$$ \frac {2 (\sqrt 2+ \sqrt6) + 3( {2 + \sqrt 3})+ 3}{3(\sqrt {2 + \sqrt 3})}$$

Multiplico por el conjugado del término irracional en el denominador.

$$ \frac {2 (\sqrt 2+ \sqrt6)(\sqrt {2 - \sqrt 3}) + 3( {2 + \sqrt 3})\sqrt {2 - \sqrt 3}+ 3(\sqrt {2 - \sqrt 3})}{3(\sqrt {2 + \sqrt 3})(\sqrt {2 - \sqrt 3})}$$

Tras la simplificación,

$$ \frac {2 (\sqrt 2+ \sqrt6)(\sqrt {2 - \sqrt 3}) + 3(\sqrt 3)\sqrt {2 - \sqrt 3}+ 9(\sqrt {2 - \sqrt 3})}{3}$$

Más allá de esto, no soy capaz de encontrar una solución. Cualquier sugerencia (por favor, explique la sugerencia ligeramente) son bienvenidos.

PREGUNTA 2: T $$ \sqrt {43-12 \sqrt 7} - \frac {2}{\sqrt {16+6 \sqrt 7}}$$

es:

A. $-3$

B. $3 $

C. $2 \sqrt 7 -3 $

D. $- (2 \sqrt 7 +3) $

He podido resolverlo hasta ahora:

Tomando denominador común:

$$ \frac {\sqrt {43-12 \sqrt 7}(\sqrt {16+6 \sqrt 7}) - 2}{\sqrt {16+6 \sqrt 7}}$$

Al simplificar obtengo:

$$ \frac {\sqrt {184 + 66\sqrt 7} - 2}{\sqrt {16+6 \sqrt 7}}$$

Multiplicando por el conjugado del denominador:

$$ \frac {\sqrt {184 + 66\sqrt 7}(\sqrt {16-6 \sqrt 7}) - 2(\sqrt {16-6 \sqrt 7)}}{\sqrt {16+6 \sqrt 7}(\sqrt {16-6 \sqrt 7)}}$$

La simplificación da:

$$ \frac {\sqrt {172 - 48\sqrt 7}- 2(\sqrt {16-6 \sqrt 7)}}{\sqrt 4}$$

Cuando escribí esto en un programa informático obtuve

$\sqrt {16-6 \sqrt 7} = 3 - \sqrt 7 $ y

$ \sqrt {172 - 48\sqrt 7} = 12 - 2 \sqrt7 $

¿Cómo se consiguen?

Answer 1

SUGERENCIA:

$$2+\sqrt3=\cdots=\frac{(\sqrt3+1)^2}2$$

$$\implies\sqrt{2+\sqrt3}=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt2}$$

$$\implies\frac{\sqrt6+\sqrt2}{\sqrt{2+\sqrt3}}=\frac{\sqrt2(\sqrt3+1)}{(\sqrt3+1)/\sqrt2}=2$$

¿Puede derivar $$\sqrt{2-\sqrt3}=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2}$$

Answer 2

De acuerdo con la petición de la OP estoy publicando mi comentario como una respuesta.

Si se eleva al cuadrado la expresión $$\sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}}$$ encontrará que se trata de $\sqrt{6}$ . Este método funciona para cualquier expresión de la forma $$\sqrt{n+\sqrt{n^2-1}}+\sqrt{n-\sqrt{n^2-1}}.$$

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Para obtener una versión más simple de expresiones racionales de la forma $x=\sqrt{a+b\sqrt{7}}$ escribimos $$x^2=a+b\sqrt{7}$$ entonces $$(x^2-a)^2 = 7b^2$$ y así $x$ satisface la expresión $$0=(x^2-a)^2 - 7b^2=x^4-2ax^2 + (a^2 - 7b^2)$$

A continuación encontraremos una factorización para este polinomio, buscando el llamado "polinomio mínimo" para $x$ . Eso le dará la simplificación que desea.

El polinomio mínimo correspondiente a $\sqrt{43-12\sqrt{7}}$ es $x^2-12x+29$ . Es decir $x = 6 \pm \sqrt{7}$ . Concluimos que $x=6-\sqrt{7}$ desde $6+\sqrt{7} >7$ cuyo cuadrado es mayor que 43.

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Puedes factorizar este polinomio de la siguiente manera: $$(x^2-a)^2 = 7b^2$$ da $$x^2 - a = \pm \sqrt{7}b$$ que a su vez da $$x = \pm \sqrt{a \pm \sqrt{7}b}.$$ Así, el polinomio se factoriza como $$\left(x-\sqrt{a - \sqrt{7}b}\right)\left(x-\sqrt{a + \sqrt{7}b}\right)\left(x+\sqrt{a - \sqrt{7}b}\right)\left(x+\sqrt{a + \sqrt{7}b}\right)$$ Escogiendo combinaciones inteligentes de éstos se obtendrá el polinomio mínimo.

Por ejemplo $$\left(x-\sqrt{a - \sqrt{7}b}\right)\left(x+\sqrt{a + \sqrt{7}b}\right)=x^2+x\left(\sqrt{a + \sqrt{7}b}-\sqrt{a - \sqrt{7}b}\right) + \sqrt{a^2-7b^2}.$$ Además, elevando al cuadrado $\sqrt{a + \sqrt{7}b}-\sqrt{a - \sqrt{7}b}$ vemos que es igual a $\sqrt{2a - 2\sqrt{a^2-7b^2}}$ . Si tienes suerte, serán números enteros. Si no, prueba a combinarlos multiplicando los términos de otra manera con $\sqrt{a-\sqrt{7}b}$ contra $\sqrt{a+\sqrt{7}b}$ . Si ninguna combinación da términos cuadráticos con coeficientes enteros, no hay polinomio mínimo cuadrático y la expresión no puede simplificarse.

Answer 3

Incluso se puede expresar la raíz entera de x-y en forma de a-b . Por ejemplo, la raíz entera de 3-2 se puede escribir como 2-1