¿Puede demostrar el rango E(Q) = 1 exactamente para infinitas curvas elípticas E sobre Q sin usar BSD?

Question

Sea $K$ sea un campo numérico y sea $\mathcal O_K$ sea el anillo de los números enteros. Siguiendo este documento de Cornelissen, Pheidas y Zahidi, un ingrediente clave necesario para demostrar que el décimo problema de Hilbert tiene una solución negativa sobre $\mathcal O_K$ es una curva elíptica $E$ definido sobre $K$ con rango $(E(K))=1$ .

Recientemente Mazur y Rubin han demostrado que tal curva existe asumiendo la conjetura de Shafarevich-Tate para curvas elípticas sobre campos numéricos. En realidad utilizan una hipótesis más débil, pero aún inaccesible (Véase la conjetura $T_2$ ).

Si quisieras eliminar la necesidad de esta hipótesis tendrías que escribir una prueba que demostrara simultáneamente que el rango $(E(K))=1$ para infinitos pares $(K,E)$ donde $E$ es una curva elíptica definida sobre $K.$ Esto plantea (en lugar de suscitar) la pregunta más fácil:

¿Puedes mostrar incondicionalmente que el rango $(E(\Bbb Q)) = 1$ para infinitas curvas elípticas $E$ en $\Bbb Q$ ?

Parece que Byeon, Jeon y Kim lo han hecho en este documento (probablemente necesite un nombre de usuario institucional) . Vatsal obtiene un resultado más débil aquí que todavía hace el trabajo. Desgraciadamente, ambos resultados invocan el hecho de que la conjetura del rango BSD es cierta para curvas elípticas sobre $\Bbb Q$ con rango analítico 1. Lo que no ayudará en la actualidad trabajando sobre campos numéricos.

¿Puede alguien hacer lo anterior SIN invocando la parte probada de la conjetura del rango BSD o suponiendo alguna conjetura?

Answer 1

No creo que sea demasiado difícil: tomemos una familia sencilla de curvas, como por ejemplo $y^2 = x^3 + px$ o algo similar, y elija $p$ de un determinado conjunto de clases de residuos para garantizar que el grupo 2-Selmer tiene rango 1. Se puede completar la demostración invocando construcciones bastante profundas utilizando puntos de Heegner, o encontrando una familia para la que se cumplan condiciones como $p = a^4 + b^2$ (hay infinitos primos de esta forma) le dan un punto global (elija su familia de tal manera que $b^2 = px^4 - y^4$ se produce como espacio homogéneo principal en su 2-descenso estándar; véase, por ejemplo, el libro de Silverman). Perdón por ser un poco vago - un fallo en el disco duro me impide actualmente mirar mis propias notas.

Answer 2

Esto es sólo una pequeña continuación del comentario anterior de Victor Miller. Manjul Bharghava tiene un segundo artículo con Shankar titulado "Ternary cubic forms having bounded invariants, and the existence of a positive proportion of elliptic curves having rank 0", y en él afirma el siguiente teorema:

Teorema 5: Supongamos $Sha(E)$ es finito para todo $E$ . Cuando todas las curvas elípticas $E/\mathbf{Q}$ están ordenados por altura, una proporción positiva de ellos tiene rango $1$ .

Esto obviamente no responde a tu pregunta original, porque Manjul está asumiendo que Sha es finito. Sin embargo, creo que sus argumentos para este teorema utilizan resultados hacia BSD sobre $\mathbf{Q}$ .

EDIT: Crud -- Quise decir que creo que sus argumentos no resultados de uso hacia BSD, que era de lo que se trataba. Ups.

Answer 3

Si $K$ es totalmente real, entonces la parte de rango de BSD se conoce en rango analítico 1 (usando puntos CM por ejemplo) para curvas elípticas modulares. Como la modularidad potencial también se conoce bajo las mismas hipótesis, estoy bastante seguro de que esta parte de Vatsal y Byeon, Jeaon y Kim se generaliza. ¿Te parece bien suponer que $K$ ¿es totalmente real?

Por otro lado, sus pruebas también utilizan algunos resultados sobre el grupo de clases de campos cuadráticos, por lo que esta parte no se generalizaría (que yo sepa, que no es mucho).