Prueba ingeniosa del teorema de la transgresión de Kudo

Question

El teorema de la transgresión de Kudo tiene que ver con la transgresión en la secuencia espectral de Leray-Serre para la cohomología en $\mathbb{Z}/p$ ( $p$ impar). Se puede demostrar por el método del ejemplo universal, una vez que se demuestre que en la secuencia de fibración camino-bucle $K(\mathbb{Z}/p,2n) \to P(K(\mathbb{Z}/p,2n+1)) \to K(\mathbb{Z}/p,2n+1)$

1. la clase fundamental $v$ de la fibra transgrede a $u$ el de la base

2. esto fuerza un zig-zag de cancelación, hasta $v^{p-1}\mapsto u \otimes v^{p-2}$

3. también $v^p$ transgrede a $P^n(u)$ y

4. $u\otimes v^{p-1}$ "transgrede" a $\beta P^n(u)$ .

Las partes (1), (2) y (3) son fáciles, pero la parte (4) parece difícil. Hay una demostración en este sentido en un artículo de Browder de mediados de los años 60 (atribuye la demostración a Milgram), pero la demostración de (4) es en realidad bastante difícil y se basa en gran medida en el algebraísmo de la secuencia espectral.

¿Alguien conoce una forma inteligente de demostrar (4)?

Edito: Digamos que sabemos por inducción que la cohomología de la fibra es la que tiene que ser. Entonces creo que el comportamiento de la secuencia espectral es forzado en dimensiones inferiores a la de $u\otimes v^{p-1}$ . ¿Demuestra esto que $u\otimes v^{p-1}$ ¿"transgrede"? Supongamos que lo hace; entonces su imagen es $Q(u)$ donde $Q$ es una operación de cohomología que desaparece en bucle (ya que no es la transgresión de una clase en la fibra). Quizá podamos argumentar que $Q$ debe ser $\beta P^n$ ¿para firmar?

Answer 1

No pensé que fuera tan difícil cuando escribí ``Una aproximación algebraica general a las operaciones de Steenrod'' que apareció en 1970. Está disponible en mi página web.
El resultado en cuestión es el teorema 3.4. Como se ha demostrado allí, el resultado se aplica a situaciones bastante generales y no sólo a la cohomología. Por ejemplo, se aplica a secuencias espectrales de homología de espacios de bucles iterados, con operaciones Dyer-Lashof sustituyendo a las operaciones Steenrod. La demostración utiliza algunas operaciones de nivel de cadena nivel de cadena, pero quizá sea más fácil que intentar sin dichas operaciones.