Cálculo de la diferencial de la función inversa.

Question

tratando de encontrar $(f'^{-1})(a)$ y obtengo una respuesta errónea.

Answer 1

Sólo hay que encontrar el valor de la inversa de la derivada en un único punto, lo que facilita las cosas. Tienes razón al empezar con la fórmula canónica $$(f')^{-1}(a)=\frac{1}{f'(f^{-1}(a))}$$ Así que vamos a calcular los ingredientes. Ahora, $f(x)=\frac{3}{x+2}$ ¿correcto? Entonces, su derivada es $f'(x)=-\frac{3}{(x+2)^{2}}$ . A continuación, establezca la ecuación $$a=\frac{3}{x+2}$$ Resolver para $x$ en términos de $a$ y esto nos dará $f^{-1}(a)$ : $$a(x+2)=3$$ $$ax=3-2a$$ $$x=\frac{3-2a}{a}=\frac{3}{a}-2$$ así que $$f^{-1}(a)=\frac{3}{a}-2$$ Así, $$f'(f^{-1}(a))=-\frac{3}{(\frac{3}{a}-2+2)^{2}}=-\frac{3}{(\frac{3}{a})^{2}}=-\frac{3}{\frac{9}{a^{2}}}=-\frac{a^{2}}{3}$$ Así, $$(f')^{-1}(a)=-\frac{3}{a^{2}}$$