Dimensión de un espacio vectorial de funciones sujetas a condiciones de contorno

Question

¿Podría alguien decirme cuál es la dimensión del siguiente espacio vectorial?

El espacio está formado por todos los $C^2$ funciones $f: [a,b]\longrightarrow\mathbb{C}$ que, para un $\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2$ cumple las condiciones:

$$\alpha_1f(a)-\alpha_2f'(a)=0,\qquad \beta_1f(b)-\beta_2f'(b)=0$$

Espero que pueda ayudar. Muchas gracias.

Answer 1

Como señaló Theo con un bonito argumento de álgebra lineal, es de dimensión infinita. Esta respuesta es sólo para señalar algunos subespacios explícitos de dimensión infinita. Por ejemplo, si $[a,b]=[-1,1]$ su espacio contiene todas las funciones de la forma $f(x)=e^{-1/(1-x^2)}p(x)$ donde $p$ es una función polinómica (y $f(-1)=f(1)=0$ ). El conjunto $\{e^{-1/(1-x^2)},e^{-1/(1-x^2)}x,e^{-1/(1-x^2)}x^2,e^{-1/(1-x^2)}x^3,\ldots\}$ es linealmente independiente. El caso de $[a,b]$ se obtiene por un cambio lineal de variables.

Si $a<c<d<b$ entonces su espacio también contiene todas las funciones suaves con soporte en $[c,d]$ que es de dimensión infinita como consecuencia de la existencia de funciones bump .

Answer 2

Su espacio es el núcleo del mapa lineal $C^2 \to \mathbb{C}^2$ dada por $f \mapsto \begin{bmatrix} \alpha_1 f(a) - \alpha_2 f'(a) \\\ \beta_1 f(b) - \beta_2 f'(b)\end{bmatrix}.$ Desde $C^2$ es obviamente infinito (la dimensión es $\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}$ ), el núcleo de este mapa tiene co-dimensión a lo sumo dos, por lo que también debe ser de dimensión infinita.

Como dice Willie en su comentario, esta cuestión se vuelve mucho más interesante cuando las funciones $f$ están sujetas a alguna ecuación diferencial.