Cómo tomar la integral de la fórmula de dilatación gravitatoria del tiempo

Question

La fórmula de la dilatación gravitatoria del tiempo es $t' = t\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}} $ . Esto nos da un valor de $t'$ a cierta distancia $r$ . Pero, ¿es posible hallar el valor de la integral en dos radios diferentes? Digamos, por ejemplo, entre $r = 10$ y r $ = 5$ en las unidades que sean apropiadas.

Ejemplo: $t'$ a 1 UA del sol $t'= 0.9999999901t$ . $t'$ a 0,5 UA del Sol $t'= 0.9999999803t$ . ¿Existe un valor integral entre ellos?

Answer 1

El momento adecuado de la caída desde el punto $r_{0}$ para señalar $r$ es: $$\tau-\tau_{0}=\frac{1}{c}\int_{r_{0}}^{r} \frac{1}{\sqrt{\frac{R_{s}}{{r}}-\frac{R_{s}}{r_{0}}}}\;dr\;\;\;\;\;\;(*)$$ donde $R_{s}=2GM/c^{2}$

(*): Física teórica volumen II: teoría de campos , L.Landu, E.Lifchitz

Answer 2

Usando la notación: c en lugar de t' y ct en lugar de t el problema con la ecuación $$c\tau=ct\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}$$ es que sólo se aplica a objetos en reposo.

Una versión generalizada de la fórmula de dilatación gravitatoria del tiempo que tiene en cuenta el movimiento procede de tomar la integral de la magnitud de los vectores tangentes de una línea del mundo parametrizada por . $$c\tau=\int\bigg|\bigg|\frac{d}{d\lambda}\bigg|\bigg|d\lambda$$ Que al expandirse en nuestros componentes de tiempo y radio da: $$c\tau=\int\sqrt{\left(\frac{d(ct)}{d\lambda}\frac{\partial}{\partial(ct)}+\frac{dr}{d\lambda}\frac{\partial}{\partial{r}}\right)\cdot\left(\frac{d(ct)}{d\lambda}\frac{\partial}{\partial(ct)}+\frac{dr}{d\lambda}\frac{\partial}{\partial{r}}\right)}d\lambda$$ Configuración \= ct podemos reescribir la ecuación para que el radio de un observador cambie con el tiempo: r(t) generalizando así la fórmula a múltiples dimensiones en el espaciotiempo de Schwarzschild.

r(t) es una abreviatura de r(ct)

(+,-,-,-) firma métrica utilizada

$$c\tau=\int\sqrt{\left(\frac{d(ct)}{d(ct)}\frac{\partial}{\partial(ct)}+\frac{dr(t)}{d(ct)}\frac{\partial}{\partial{r(t)}}\right)\cdot\left(\frac{d(ct)}{d(ct)}\frac{\partial}{\partial(ct)}+\frac{dr(t)}{d(ct)}\frac{\partial}{\partial{r(t)}}\right)}cdt$$ $$=\int\sqrt{\left(\frac{d(ct)}{d(ct)}\right)^2\frac{\partial}{\partial(ct)}\cdot\frac{\partial}{\partial(ct)}+\left(\frac{dr(t)}{d(ct)}\right)^2\frac{\partial}{\partial{r(t)}}\cdot\frac{\partial}{\partial{r(t)}}}cdt$$ $$=\int\sqrt{g_{tt}+\left(\frac{dr}{d(ct)}\right)^2(-g_{rr})}cdt$$ donde r(t) es lineal en el caso de velocidad constante y cuadrática en el caso de aceleración.

Por ejemplo: $$r(t)=\frac{1}{2}t$$ donde r(t) se mide en UA y t se mide en horas, haciendo que la velocidad del observador: $$\frac{dr}{dt}=\frac{1}{2}\frac{AU}{hr}$$ Introduciendo esto en la ecuación, obtenemos: $$c\tau=\int\sqrt{g_{tt}+\frac{1}{4}(-g_{rr})}cdt=\int\sqrt{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)-\frac{1}{4}\left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}}cdt$$ $$=\int\sqrt{\frac{r-r_s}{r}-\frac{r}{4(r-r_s)}}cdt=\sqrt{\frac{r-r_s}{r}-\frac{r}{4(r-r_s)}}\int{cdt}$$ $$=ct\sqrt{\frac{r-r_s}{r}-\frac{r}{4(r-r_s)}}$$