Enunciados equivalentes de la hipótesis de Riemann en las conjeturas de Weil

Question

En la encarnación cohomológica, la parte de la hipótesis de Riemann de la conjetura de Weil para un esquema propio suave de tipo finito sobre un campo finito con $q$ elementos dice que: los valores propios de Frobenius que actúan sobre los $H^i_\mathrm{et}(X, Q_\ell)$ son enteros algebraicos con valor absoluto complejo $q^{i/2}$ .

Para una curva suave adecuada $C$ en $F_q$ de género g, la hipótesis de Riemann se enuncia a menudo de otra manera como $|N- q - 1| \leq 2g \sqrt(q)$ donde $N$ es el número de puntos racionales en $C$ .

¿Por qué son equivalentes estas dos afirmaciones? ¿Existen desigualdades equivalentes a la hipótesis de Riemann en dimensiones superiores?

Answer 1

La razón por la que esa desigualdad es equivalente a RH (para curvas) es la ecuación funcional .

El polinomio $L(z)$ de la que hablo a continuación surgiría en la práctica como el numerador de la función zeta de la curva, con $z = q^{-s}$ y la versión habitual de la hipótesis de Riemann para $L(q^{-s})$ es equivalente a la afirmación de que las raíces recíprocas de $L(z)$ todos tienen valor absoluto $\sqrt{q}$ . Esa es la forma de la hipótesis de Riemann a la que me referiré en lo que sigue.

Supongamos que tenemos un polinomio $L(z)$ sobre los números complejos con término constante 1 y grado $d$ , factorizado sobre sus raíces recíprocas: $$L(z) = (1 - \alpha_1z)\cdots(1-\alpha_dz), \ \ \ \alpha_j \not= 0.$$

Sea $L^*(z)$ sea el polinomio con coeficientes conjugados complejos a los de $L(z)$ Así que $$L^*(z) = (1 - \overline{\alpha_1}z)\cdots(1-\overline{\alpha_d}z).$$ Supongamos que $L(z)$ y $L^*(z)$ están conectados por la ecuación funcional $$L(1/qz) = \frac{W}{z^d}L^*(z)$$ para alguna constante $W$ . Si se comparan coeficientes de las mismas potencias de $z$ a ambos lados, esta ecuación funcional implica la correspondencia $\alpha \mapsto q/\overline{\alpha}$ envía raíces recíprocas de $L(z)$ a raíces recíprocas de $L^*(z)$ (y $W$ tiene valor absoluto $q^{d/2}$ ).

Lema 1. Concediendo la ecuación funcional anterior, las siguientes condiciones son equivalentes:

i $)$ las raíces recíprocas de $L(z)$ tienen valor absoluto $\sqrt{q}$ (RH para $L(z)$ ),

ii $)$ las raíces recíprocas de $L(z)$ tienen valor absoluto $\leq \sqrt{q}$ .

Prueba. Sólo necesitamos demostrar que ii implica i. Suponiendo ii, sea $\alpha$ sea cualquier raíz recíproca de $L(z)$ , así que $|\alpha| \leq \sqrt{q}$ . Por la ecuación funcional funcional, $q/\overline{\alpha}$ es recíproco recíproca de $L^*(z)$ Así que $q/\overline{\alpha} = \overline{\beta}$ para alguna raíz recíproca $\beta$ de $L(z)$ . Entonces $|q/\overline{\alpha}| = |\overline{\beta}| = |\beta| \leq \sqrt{q}$ y así $\sqrt{q} \leq |\alpha|$ . Por lo tanto $|\alpha| = \sqrt{q}$ e i sigue. QED

Este lema reduce la demostración de la hipótesis de Riemann para $L(z)$ de la igualdad $|\alpha_j| = \sqrt{q}$ para todos $j$ al límite superior $|\alpha_j| \leq \sqrt{q}$ para todos $j$ . Por supuesto, la ecuación funcional era crucial para explicar por qué la desigualdad superficialmente más débil implica la igualdad.

A continuación queremos mostrar el límite superior de la $|\alpha_j|$ 's en la parte ii del Lemma 1 es equivalente a a $O$ -estimación sobre sumas de potencias de los $\alpha_j$ que superficialmente parece más débil.

Nos interesarán las sumas $$\alpha_1^n + \cdots + \alpha_d^n,$$ que surgen de la teoría de las funciones zeta como coeficientes de una función generadora exponencial: puesto que $L(z)$ tiene término constante 1, podemos escribir (como serie de potencias formal sobre los números complejos) $$L(z) = \exp\left(\sum_{n \geq 1}N_n z^n/n\right)$$ y luego la diferenciación logarítmica muestra $$N_n = -(\alpha_1^n + \dots + \alpha_d^n)$$ para todos $n \geq 1$ .

Lema 2. Para números complejos distintos de cero $\alpha_1,\dots,\alpha_d$ y un constante $B > 0$ son equivalentes:

i $)$ Para algunos $A > 0$ , $|\alpha_1^n + \dots + \alpha_d^n| \leq AB^n$ para todos $n \geq 1$ .

ii $)$ Para algunos $A > 0$ y entero positivo $m$ , $|\alpha_1^n + \dots + \alpha_d^n| \leq AB^n$ para todos $n \geq 1$ con $n \equiv 0 \bmod m$ .

iii $)$ $|\alpha_j| \leq B$ para todos $j$ .

La parte ii dice que sólo hay que mostrar la parte i cuando $n$ recorre los múltiplos (positivos) de cualquier entero positivo particular para saber que es cierto para todos los enteros positivos $n$ . Es un tecnicismo conveniente en la demostración de la hipótesis de Riemann para curvas, pero el meollo de la cuestión es la conexión entre las partes i y iii. (Nos interesaría la parte iii con $B = \sqrt{q}$ .) Puede establecer $m = 1$ para convertir la prueba de que ii implica iii en una prueba de que i implica iii. El paso de i a iii es a lo que Dave se refiere en su respuesta cuando cita el libro de Iwaniec y Kowalski.

Pruebas. Fácilmente i implica ii y (puesto que $|\alpha_j| = |\overline{\alpha_j}|$ ) iii implica i. Para demostrar que ii implica iii, utilizamos un bonito truco analítico. Suponiendo ii, la serie $$\sum_{n \equiv 0 \bmod m} (\alpha_1^n + \dots + \alpha_d^n)z^n$$ es absolutamente convergente para $|z| < 1/B$ por lo que la serie define una función holomorfa en este disco. (La suma es sobre múltiplos positivos de $m$ ) En $|z| < 1/|\alpha_j|$ para todos $j$ la serie puede calcularse como $$\sum_{j=1}^{d} \frac{\alpha_j^mz^m}{1-\alpha_j^mz^m} = \sum_{j=1}^{d}\frac{1}{1-\alpha_j^mz^m} - d,$$ por lo que la función racional $\sum_{j=1}^{d} 1/(1-\alpha_j^mz^m)$ es holomorfo en el disco $|z| < 1/B$ . Por lo tanto los polos de esta función racional deben tener valor absoluto $\geq 1/B$ . Cada $1/\alpha_j$ es un polo, por lo que $|\alpha_j| \leq B$ para todos $j$ . QED

Teorema. Los siguientes son equivalentes:

i $)$ $L(z)$ cumple la hipótesis de Riemann ( $|\alpha_j| = \sqrt{q}$ para todos $j$ ),

ii $)$ $N_n = O(q^{n/2})$ como $n \rightarrow \infty$ ,

iii $)$ para algunos $m \geq 1$ , $N_n = O(q^{n/2})$ como $n \rightarrow \infty$ a través de los múltiplos de $m$ .

Pruebas. Fácilmente i implica ii y ii implica iii. Suponiendo iii, obtenemos $|\alpha_j| \leq \sqrt{q}$ para todos $j$ por Lemma 2, y esta desigualdad sobre todos los $j$ es equivalente a i por el lema 1. QED

Brandon preguntó, tras la respuesta de Rebecca, si la desigualdad implica las conjeturas de Weil (para curvas) y Dave también se refirió en su respuesta a las conjeturas de Weil que se derivan de la desigualdad. Al menos en este contexto, no deberías decir "conjeturas de Weil" cuando quieres decir "hipótesis de Riemann", ya que utilizamos la ecuación funcional en el argumento y eso forma parte de las conjeturas de Weil. La desigualdad no implica las conjeturas de Weil, sino sólo la hipótesis de Riemann (una vez establecida la ecuación funcional).

Que la desigualdad sea lógicamente equivalente a RH, y no sólo una consecuencia de ella, tiene cierto interés matemático, ya que es una de las vías para una demostración de las conjeturas de Weil para curvas.

P.D. Brandon, si tienes otras preguntas sobre las conjeturas de Weil para curvas, pregunta a tu director de tesis si puedes echar un vistazo a su tesis de fin de carrera. Allí encontrarás los argumentos anteriores, junto con aplicaciones a la teoría de la codificación. :)

Answer 2

El primer paso es reformular la función zeta en términos de cohomología l-ádica. Se define como

$$Z(u) := \exp(\sum_m N_m u^m/m),$$ donde $N_m$ es el número de puntos sobre $F_{q^m}.$ Así que $N_m$ es #{puntos fijos de $\mathrm{Frob}^m$ }, y por el análogo del teorema del punto fijo de Lefschetz para la cohomología l-ádica, esto implica $N_m = \sum_i (-1)^i \mathrm{Tr} \mathrm{Frob}^{m*}|H^i$ . Podemos sustituir esto en la expresión para Z(u) y reordenar para obtener

$$Z(u) = \prod_{i=0}^{2n} [\exp(\sum_m \mathrm{Tr} \mathrm{Frob}^{m*}|_{H^i} \frac{u^m}{m})]^{(-1)^i}$$

donde $n$ es la dimensión de la variedad. Los exponenciales internos son en realidad $\det(1-u \mathrm{Frob}^*)|_{H^i}$ que relaciona los ceros y polos de la función zeta con los valores propios de Frob* actuando sobre $H^i$ .

Ambos $H^0$ y $H^2n$ son espacios unidimensionales, y conocemos los valores propios de Frob* que actúan sobre ellos: sobre $H^0$ Frob* actúa como la identidad, por lo que el valor propio es 1, y en $H^{2n}$ Frob* es la multiplicación por $q^n$ porque Frob es un mapa finito de grado $q^n$ .

Para las curvas, $n=1$ y la expresión anterior para $Z(u)$ se convierte en $Z(u)=[(1-u)(1-qu)]^{-1} P(u)$ donde $P(u)$ es un polinomio de grado $\dim H^1$ cuyos ceros $\alpha_i$ (los valores propios del Frob* actuando sobre H^1) tienen valor absoluto $|\sqrt{q}|$ . Entonces no es difícil demostrar (diferenciando logarítmicamente $Z(u)$ y reordenando) que $N_m = 1 + q - \sum_j \alpha_j^m$ . Si suponemos $\dim H^1 = 2g$ (para demostrar esto supongo que se necesita alguna forma de comparar la cohomología de Zariski y etale), esto demuestra que el límite en el recuento de puntos es el mismo que el límite en el tamaño de los valores propios de Frob en $H^1$ .

Para dimensiones superiores, se podría jugar al mismo tipo de juegos, pero las expresiones no serían tan bonitas.

Answer 3

En cuanto a la pregunta sobre las dimensiones superiores, Scholl demostró que RH en todas las dimensiones se deduce de la afirmación:

Si $X$ es una hipersuperficie lisa en $\mathbb{P}^{d+1}$ en $\mathbb{F}_q$ entonces $X(\mathbb{F}_{q^n}) - \mathbb{P}^d(\mathbb{F}_{q^n}) = O(q^{dn/2})$ .

Aquí el $O(\ )$ es como $n \to \infty$ cuya constante depende de $X$ .

Answer 4

Creo que una consecuencia de la hipótesis de Riemann en términos de número de puntos es que una variedad proyectiva lisa n-dimensional X tendrá $q^n+O(q^{n-1/2})$ puntos sobre $\mathbb{F}_q$ y la constante delante de $q^{n-1/2}$ está limitada por encima por la dimensión de la dimensión de $H^{2n-1}(X)$ . Sin embargo, esto no es equivalente; la hipótesis de Riemann te da mucha mejor información sobre el número de puntos en relación con la cohomología.

Answer 5

Brandon,
La conjetura de Weil puede deducirse fácilmente de la estimación del recuento de puntos mediante el siguiente lema: Si $a(j)$ son un conjunto finito de números complejos tales que $| \sum_{j} a(j)^n | \leq A*B^n$ para todos $n$ grande, entonces cada $a(j)$ satisface $|a(j)| \leq B$ . En Iwaniec-Kowalski, en la página 288, se ofrece una prueba de una línea. En cualquier caso, dejemos que el $a(j)$ sean las raíces del polinomio característico de $H^1$ en $F_q$ y luego tomar $B=2g$ y $A=\sqrt{q}$ .

Salud, Dave