Sobre el teorema de superposición de Kolmogorov

Question

Hola Expertos,

Tengo una pregunta sobre el teorema de superposición de Kolmogorov:

Se sabe que: Sea ${f(x_1,x_2,...,x_m): \Re^m :=[0,1]^m \to \Re}$ sea una función continua multivariante arbitraria. A partir del Teorema de Superposición de Kolmogorov tenemos la siguiente representación:

${f(x_1,x_2,...,x_m)= \sum_{q=0}^{2m} \Phi_q (\sum_{p=1}^m \phi_{p,q}(x_p))}$

con funciones externas unidimensionales continuas ${\Phi_q}$ y funciones internas ${\phi_{p,q}}$ . Todas estas funciones están definidas en la recta real. Las funciones internas ${\phi}$ son independientes de la función ${f(x_1,x_2,...,x_m)}$ .

La pregunta es: ¿Es posible encontrar funciones internas ${\phi_p{(x_p)}}$ que es independiente de $q$ que satisface el teorema de superposición:

${f(x_1,x_2,...,x_m)= \sum_{q=0}^{2m} \Phi_q (\sum_{p=1}^m \phi_p (x_p))}$

Dónde ${\Phi_q, \phi_p, N}$ pueden seleccionarse y definirse cuando proceda.

Es fundamental para nuestros trabajos sobre control no lineal, y esperamos sus consejos sobre posibles soluciones, sugerencias, documentos relacionados, etc.

Gracias Wang Tao

Answer 1

Si lo he entendido bien, eso no parece posible. Si las funciones internas son independientes de $q$ la suma de las funciones externas se reduce a una única función $\Phi$ con $$\Phi(\cdot) = \sum_{q = 0}^{2 m} {\Phi_{q}}(\cdot).$$ Por lo tanto, la forma más fuerte del teorema que buscas sería equivalente a:

Por cada $m \in \mathbb{N}$ existen funciones continuas $\phi_{1},\phi_{2},\ldots,\phi_{m}: [0,1] \to \mathbb{R}$ tal que cualquier función continua $f: [0,1]^{m} \to \mathbb{R}$ c $$f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}) = {\Phi_{f}} \left( \sum_{p = 1}^{m} {\phi_{p}}(x_{p}) \right)$$ para alguna función continua $\Phi_{f}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ .

Para cada $i \in \{ 1,\ldots,m \}$ Toma $f_{i}$ ser el $i$ -ésima función de proyección (es decir, ${f_{i}}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}) = x_{i}$ ). Se puede demostrar que esto implicaría la existencia de una función continua $F: [0,1]^{m} \to \mathbb{R}$ que también es uno a uno (ya que todas las coordenadas pueden recuperarse a partir de él). Sin embargo, una función continua de un conjunto abierto en $\mathbb{R}^{m}$ a $\mathbb{R}$ no puede ser uno a uno para $m > 1$ (por Invariancia de Dominio), por lo que obtenemos una contradicción.

Answer 2

Hola AgCl

Muchas gracias por la respuesta. Me ayuda a ahorrar tiempo y esfuerzo. Como este tema es importante para mí, quiero pensar detenidamente mi respuesta. ¿Me permite unos días para redactar una respuesta adecuada?

Saludos cordiales Wang Tao

Answer 3

Las funciones internas pueden construirse independientemente de q, lo que significa que sólo se necesita una función externa phi. sin embargo phi es discontinua en este caso.