¿Cómo hacer que una matriz de bloques sea semidefinida positiva?

Question

Tengo una matriz $A=\begin{bmatrix} \textbf{0}_{N\times N} & S\\ S^T & \textbf{0}_{M\times M} \end{bmatrix},$ donde $S\in R^{N\times M}$ . Qué $S$ haría $A$ ¿una matriz semidefinida positiva?

Answer 1

Tome cualquier $z = (z_1,z_2)^T$ . Tenemos

\begin{align*} & \left(z_1^T z_2^T \right) A \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix} \\ & = z_1^T S z_2 + z_2^T S^T z_1 \\ & = k(z) + k(z)^T \ & = 2k(z) \fin{align*}

donde $k(z) = z_1^T S z_2$ .

Supongamos $k \geq 0$ . Si se toma el vector $z^\prime = (-z_1 , z_2)^T$ , $k(z^\prime) \leq 0$ .

Por tanto, la semidefinición positiva sólo puede alcanzarse si $k(z) = 0$ para todos $z$ que es el caso si $S = 0$ .

Answer 2

Desde $A$ es simétrico real, $A$ es diagonalizable y similar a alguna matriz diagonal $D$ .

Si $A$ es semidefinida positiva, también lo es $D$ y, por tanto, todas las entradas de $D$ son números no negativos.

Desde $A$ no tiene traza, lo mismo ocurre con $D$ y, por tanto, todas las entradas de $D$ son cero.

Es decir $D$ es la matriz cero y $A$ .