¿Por qué la progresión de los valores de $\sin(x)$ parecen tan arbitrarias?

Question

No sé cómo preguntar esto de forma que no suene un poco estúpido, pero lo que quiero decir es que la progresión de valores de, digamos, sen(x) parece realmente arbitraria. ¿Hay una manera intuitiva de entender por qué, por ejemplo:

   x            y
-------   -------------
sin(45) = 0.85090352453
sin(46) = 0.90178834764

¿Qué determina las cantidades en que Y sube o baja cuando cambia X? Y aún mejor, ¿hay algo (bastante accesible para los no matemáticos) que pueda leer que explique este tipo de cosas de una manera muy intuitiva? No quiero demostrar que funciona, sólo entender cómo. Gracias.

Answer 1

¿Se refiere a trabajar en radianes, porque $\sin 45$ es un poco arbitraria. Por tanto, si $\sin 45$ parece arbitraria, es porque $45$ es un poco arbitrario en las unidades que ha elegido.

Vamos a explicar qué significa todo esto.

45 representa el punto en el que te encontrarías si recorrieras a lo largo de la circunferencia del círculo en el sentido contrario a las agujas del reloj una distancia de 45 unidades.

Es decir, 7 revoluciones completas más aproximadamente 1/6 de revolución adicional.

$45 = 14\pi + 1.02$

He marcado aproximadamente dónde se encuentran 45 y 46 en el círculo unitario.

$\sin 45$ es la distancia a la que se encuentra ese punto por encima del $x$ eje. $\cos 44$ es la distancia a la derecha del $y$ eje.

$\sin 46$ está casi a la misma altura por encima del $x$ eje.

Otras cosas que hacen $\sin x$ parecen un poco arbitrarias... Excepto de $0$ si $x$ es racional $\sin x$ voluntad irracional (trascendental de hecho).

Otras reglas con las que puedes vivir.

$-1\le \sin x \le 1$

$\sin (x+\pi) = -\sin x\\ \sin -x = -\sin x\\ \sin (x+2\pi) = \sin x$

$|\sin x - \sin y| \le |x-y|$

Puede encontrar $\sin x$ mediante esta fórmula.

$\sin x = \sum_\limits{n=0}^\infty (-1)^n\frac {x^{2n+1}}{2n+1!}$ Que funciona muy bien para valores pequeños de $x$ pero tardaría mucho en converger para un valle de $x$ tan grande como $45.$

pero como $\sin 45 =\sin 1.02$ puede enchufar $1.02$ en la fórmula y convergerá mucho más rápido.

Espero que esto ayude.

Si trabajamos en grados:

$46^\circ$ está mucho más cerca de $45^\circ$ que cuando trabajábamos en radio.

$360^\circ = 2\pi$ radianes

o 1 grado $= \frac {\pi}{180}$ radianes.

o 1 radián $\approx 57$ grados.

$45^\circ$ es un ángulo especial. Podemos utilizarlo para construir un triángulo rectángulo isósceles y hallar $\sin 45^\circ$ exactamente

$\sin 45^\circ = \frac {\sqrt {2}}{2} \approx 0.707$

La mayoría de los demás ángulos siguen siendo problemáticos.

$\sin 46^\circ \approx 0.719$

ya que el ángulo es pequeño. Si viajamos desde $(\cos 45^\circ, \sin 45^\circ)$ tangente al círculo la distancia equivalente a 1 grado, llegaremos muy cerca de $(\cos 46^\circ, \sin 46^\circ)$

La pendiente de la tangente es el recíproco negativo de la pendiente del radio.

Viajamos verticalmente $\cos 45(\frac {\pi}{180})$ y a la izquierda $\sin 45(\frac {\pi}{180})$

En grados $|\sin (x+1) - \sin x| \le \frac {\pi}{180}$

Answer 2

Parece que estás utilizando radianes en lugar de grados. Los grados son más comunes en el uso diario (un círculo completo es $360$ ). Las matemáticas serias suelen utilizar radianes (un círculo completo es $2 \pi$ ). Las calculadoras que admiten el seno suelen ofrecer ambas opciones, pero la predeterminada varía. Si no tiene intención de utilizar radianes, compruebe las instrucciones para el modo grados. Los lenguajes de cálculo también varían pero los radianes son comunes. Una opción para grados es menos común pero se puede manejar. Si $\theta$ es su ángulo en grados, entonces utilice $\sin(\theta \pi / 180)$ .

Como explica Doug M, $1$ radian es una cantidad bastante grande y arbitraria, alrededor de $57.3$ grados. Explica bien las consecuencias.

Si cambia a grados, el aspecto será muy diferente. $45$ es bastante especial en grados y su $\sin$ es $\frac{\sqrt(2)}{2}$ que es aproximadamente $0.7071$ . $1$ grado es bastante reducido. Si calcula $\sin$ para $45, 46, 47, ...$ entonces el patrón debería ser más claro. Crecerá aproximadamente a un ritmo constante pero ralentizándose gradualmente hasta alcanzar $90$ cuando alcanzará su máximo de $1$ y entonces empezará a caer.

Alternativamente, vuelva a los radianes pero utilice un paso más pequeño, por ejemplo $0.01, 0.02, 0.03, ...$ . Una vez más, verá un patrón.