"Un operador es hermítica". ¿Implicaciones?

Question

Alastair Rae dice que hay 4 postulados de la Mecánica Cuántica, en su texto sobre el tema. La primera parte de su segundo postulado puede ser enunciada como:

Cada dinámico de la variable puede ser representado por un Hermitian operador cuyos autovalores son el resultado de llevar a cabo una medición del valor de la dinámica de la variable...

Mi pregunta es: cuánto podemos deducir de decir que algunos de los operadores que intervienen en la Mecánica Cuántica son Hermitian?

Cuando yo uso la palabra Hermitian, me estoy refiriendo a la propiedad que $A=A^+$ donde $A$ es un operador y $A^+$ es el adjunto de a $A$. Hace un operador Hermitian implica automáticamente que no existen funciones propias y valores propios correspondientes a este operador? ¿Ser Hermitian implica que, en caso de no existir funciones propias correspondientes a este operador, puede formar un completo y ortonormales? Que cualquier función de onda puede ser ampliada en términos de estos eigenfunction? Cuánto se oculta en la palabra "Hermitian"?

Answer 1

Hay un montón de información muy importante oculto en el plazo de hermitian.

Para un operador $A$ en un finito-dimensional espacio de Hilbert $\mathcal H$, uno puede mostrar que existe una ortonormales base para el espacio de Hilbert que consta de los vectores propios del operador $A$. Por otra parte, se puede demostrar que los valores propios correspondientes a estos vectores propios son reales. Este resultado es de lo finito-dimensional Teorema Espectral. El hecho de que los autovalores de hermitian operadores son reales es de crucial importancia en la mecánica cuántica, ya que los autovalores de las características observables se supone que representan un valor real, físicamente cantidades mensurables.

Cuando el espacio de Hilbert es inifinite-dimensional, entonces el resultado análogo, que también es llamado el teorema espectral, es más difícil de probar y hay más supuestos técnicos, se necesita realizar debido a los problemas que surgen respecto a los dominios de definición de los operadores y los llamados operadores no acotados etc. En particular, una de las necesidades de la noción de auto-adjunto del operador que es el infinito-dimensional extensión de hermitian y se reduce a hermitian en lo finito-dimensional caso. Me animo a mirar el artículo de wiki en el teorema espectral que he enlazado para obtener más información.

También, para su información, en la rama de las matemáticas que trata con el infinito-dimensional caso es el análisis funcional.