Ejercicio 2.2.5 del libro de Qing Liu

Question

Esto es una paráfrasis del ejercicio 2.2.5 del libro de Qing Liu:

Sea $X$ sea un espacio topológico. Fijamos un haz $\mathcal{G}$ en $X$ y un punto cerrado $x_{0}\in X$ . Definimos una nueva gavilla $\mathcal{F}$ a $\mathcal{F}(U)=\mathcal{G}(U)$ si $x_{0}\notin U$ a $\mathcal{F}(U)=\left\{s\in \mathcal{G}(U):s_{x_{0}}=0\right\}$ de lo contrario. Demostrar que $\text{Supp}$ $\mathcal{F}= \text{Supp}$ $\mathcal{G}\setminus \left\{x_{0}\right\}$ . Aquí $\text{Supp}$ $\mathcal{F}=\left\{x\in X:\mathcal{F}_{x}\neq 0 \right\}$ .

Es fácil ver que $\text{Supp}$ $\mathcal{F}\subseteq \text{Supp}$ $\mathcal{G}\setminus \left\{x_{0}\right\}$ pero no sé cómo demostrar lo contrario, que si $x\in \text{Supp}$ $\mathcal{G}\setminus \left\{x_{0}\right\}$ entonces $x\in \text{Supp}$ $\mathcal{F}$ . ¿Alguien puede ayudarme? Lo siento si mi pregunta es tonta.

Answer 1

Supongamos que $x\in \text{Supp}$ $\mathcal{G}\setminus \left\{x_{0}\right\}$ . Porque $\mathcal{G}_x$ es distinto de cero, podemos encontrar una vecindad abierta $U$ de $x$ junto con una sección $s\in \mathcal{G}(U)$ tal que $s_x \not = 0$ en $\mathcal{G}_x$ . Intersección $U$ con $X\setminus \{x_0\}$ (que es un subconjunto abierto de $X$ ), podemos suponer que $x_0\not \in U$ . Ahora, porque $\mathcal{F}(U)=\mathcal{G}(U)$ la sección $s$ define un elemento distinto de cero del tallo de $\mathcal{F}$ en $x$ demostrando que $\mathcal{F}_x$ no es cero.

NB: En realidad, si $x\not = x_0$ entonces $\mathcal{F}_x=\mathcal{G}_x$ . Esto puede verse escribiendo el tallo como un límite inductivo en vecindades abiertas de $x$ y la intersección de estos barrios con $X\setminus \{x_0\}$ que no modifica el límite real. Es decir: $$\begin{align} \mathcal{G}_x&= \varinjlim_{x\in U\subset X}\mathcal{G}(U)\\&= \varinjlim_{x\in U\subset X}\mathcal{G}(U\cap(X\setminus \{x_0\}))\\&= \varinjlim_{x\in U\subset X}\mathcal{F}(U\cap(X\setminus \{x_0\}))\\&= \varinjlim_{x\in U\subset X}\mathcal{F}(U)\\&= \mathcal{F}_x \end{align}$$