Formas canónicas que tienen discos gershgórin "mínimos", ¿existen?

Question

Me pregunto si hay alguna manera de definir, de forma única o no, una forma canónica que tenga radios mínimos para Discos Gersgórin . Para ser más específicos para una matriz dada $\bf A$ encuentra $\bf C$ y $\bf T$ :

$${\bf A = TCT}^{-1}, \text{with } {\bf C} \text{ sparse canonical structure, and minimal Gershgórin radii}$$

Obviamente, si $\bf A$ diagonalizable tendríamos un mínimo en su diagonalización, ya que todos los radios = 0. Pero en el caso general, ¿cómo se podría argumentar para encontrar una forma canónica que minimice los radios en algún sentido?

Además, no estoy seguro de cómo definir los radios mínimos, ya que el aumento de un radio podría disminuir otro, por lo que algún tipo de media ponderada, tal vez un $k$ -en todos los elementos no diagonales? $$\sqrt[k]{\sum_{i\neq j}|{\bf C}_{ij}|^k} \text{ or } \sqrt{\sum_j\|{\bf c}_{j}\|_k}, \text{ where } {\bf c}_k \text{ is kth column vector stripped of its diagonal}$$

Tal vez la elección de $k$ afecta a la forma que sería adecuada. Siento haberme dado cuenta de que se ha convertido en una pregunta un tanto confusa. Me encantaría recibir cualquier comentario. Podría rehacer una pregunta mejor más tarde si se solicita.

Answer 1

Creo que esto no es posible en general. Para un ejemplo sencillo, la matriz

$$\left(\begin{array}{cc}1 &1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$$

tiene conjugados

$$\left(\begin{array}{cc}1 &x \\ 0 & 1\end{array}\right)$$

para $x \neq 0$ . Así que puedes hacer sus radios de Gershgorin arbitrariamente pequeños, pero no cero...