¿por qué una variedad topológica no puede tener un conjunto subyacente finito?

Question

Según los apuntes de un curso que estoy siguiendo, un espacio topológico no puede tener un conjunto subyacente finito, porque es localmente homeomorfo a $R^d$ y $R^d$ es un conjunto incontable.

Sin embargo, ¿por qué no puedo definir el conjunto $M=$ { $1$ } junto con la topología indiscreta $O$ y el mapa $f: M \to R$ donde $f(1)= e$ (o cualquier otro número real), como un espacio topológico finito que mapea a un único elemento en $R$ ?

En este caso no hay subconjuntos abiertos de $R$ al que $f$ por lo que la preimagen de todos los mapas abiertos en el objetivo es el conjunto nulo en el dominio, que también es un conjunto abierto en el dominio.

Por lo tanto $(M, O, f)$ debe ser una variedad topológica. ¿Hay algo mal en mi razonamiento?

Answer 1

La definición de un "gráfico" o "parche de coordenadas" en el colector $M$ es un homeomorfismo $h \colon U \to V$ de algún subconjunto abierto $U \subset M$ a un abra subconjunto $V \subset \mathbb R^d$ . Es decir $V$ debe estar abierto como subconjunto de $\mathbb R^d$ en lugar de ser simplemente abierto como un subconjunto de sí mismo bajo la topología del subespacio. El rango de su ejemplo no es un subconjunto abierto de $\mathbb R$ .

Answer 2

El mapa $f$ que ha definido en su pregunta no es un homeomorfismo de $R= R^1$ por eso tu idea no funciona. (Por ejemplo, no es suryectiva, pero se podría trabajar con una definición más general que cada punto tiene un barrio que es homeomorfo a un subconjunto abierto de algunos $R^n$ . Pero en ese caso la imagen de su $f$ no está abierto en $R$ )

Sin embargo una unión disjunta de puntos finitos (todos cerrados como subconjunto en el espacio) son una manifold, ya que cada punto $x$ tiene una vecindad abierta (a saber $\{x\}$ ) que es homeomorfo a $R^0$ que es el $0$ -espacio euclidiano. En general no se quiere excluir este caso, y creo que tu definición tampoco lo hace.