Necesito demostrar que no existe un homomorfismo inyectivo $f : D_6 \hookrightarrow A_5$ . Sé que hay un elemento de $D_6$ de orden 2 (a saber $\sigma$ un reflejo en alguna línea). Si $f$ es un homomorfismo, obtenemos $f(\sigma)^2 = f(\sigma^2) = f(e_{D_6}) = e_{A_5}$ . Por lo tanto $f(\sigma)$ es de orden 1 ó 2. Si es de orden 1, $\sigma$ sería un elemento de ker $(f)$ que a su vez sería no trivial. Por lo tanto, si exigimos $f$ sea inyectiva, el orden de $f(\sigma)$ debe ser 2. Ahora, si yo fuera capaz de demostrar que hay no es elemento de orden 2 en $A_5$ habría terminado. Mi instinto me dice que ese es efectivamente el caso, ya que $A_5$ está generado por los 3 ciclos. La prueba, sin embargo, se me escapa.
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$D_6$ tiene un elemento de orden $6$ pero los únicos elementos $x\in S_5$ de orden $6$ tienen representación de ciclos disjuntos de la forma $x=(a\;b\;c)(d\;e)$ que es el producto del elemento par $(a\;b\;c)$ y el elemento impar $(d\;e)$ Así que $x$ es impar, por lo tanto $x\notin A_5$ .
Tenga en cuenta que $|A_5|=60$ Por lo tanto $A_5$ hace tienen elementos de orden $2$ ya que todo grupo de orden par tiene un elemento de orden $2$ . Explícitamente, si $x,y\in S_5$ son disjuntos $2$ -ciclos, y $z=xy$ entonces $z$ tiene orden $2$ y $z$ es par, por lo que $z\in A_5$ .
