Desigualdad de triángulos Coeficientes de Clebsch-Gordan

Question

En Coeficientes de Clebsch-Gordan sólo puede ser distinto de cero si se cumple la desigualdad triangular: $$\vert j_1-j_2 \vert \le j \le j_1+j_2$$ En mi programa de estudios dan la siguiente prueba: $$-j \le m \le j$$ $$-j_1 \le m_1 \le j_1$$ y $$-j_2 \le m_2 \le j_2$$

En $m$ toma su valor máximo, $m = j$ , $m_1 = j_1$ y $m_2 = j_2$ y obtenemos:

1) $-j_1 \le j-j_2 \le j_1$ lo que implica $j_2-j_1 \le j \le j_1+j_2$

2) $-j_2 \le j-j_1 \le j_2$ lo que implica $j_1-j_2 \le j \le j_1+j_2$

lo que debería demostrar la desigualdad del triángulo.

Esta prueba parece muy sencilla, pero no la entiendo del todo. Parece que me falta algún razonamiento esencial, y no encuentro dónde. ¿Por qué, por ejemplo, toman por $m_1$ , $m_2$ y $m$ ¿todos los valores máximos? ¿No puedo tomar también $m$ máxima y $m_1$ ¿Mínimo? Sin embargo, esto daría malos resultados. Así que realmente no lo entiendo, y espero que alguien pueda aclararlo.

Answer 1

En primer lugar, si $m$ es máxima, $m_1$ no puede ser mínimo porque $m=m_1+m_2$ así que $m_{max}=m_{1, max}+m_{2, max}$ por definición.

La razón por la que necesitan utilizar valores máximos para $m_i$ es porque necesitan encontrar una relación entre sólo el $j$ -valores, pero sólo tienen una relación entre $m$ -valores y $j$ -valores (a saber, $-j_i \le m_i \le j_i$ ).

En $m_i$ es máxima, $m_i=j_i$ (en virtud de la relación de desigualdad anterior). Por lo tanto, $j=m_{max}=m_{1, max}+m_{2, max}=j_1+j_2$ o, en otras palabras, $j_2=m_2=j-j_1$ (y viceversa para $m_1$ ).

Sustituyendo en la desigualdad $-j_2\le m_2\le j_2$ obtenemos $-j_2\le j-j_1\le j_2$ . El resto de la prueba es una extensión trivial de lo que se hace aquí. Los argumentos son exactamente los mismos.

Answer 2

Esto es sólo para añadir a la otra respuesta:

Obsérvese que tenemos $m = m_1 + m_2$ y $-j_1 \le m_1 \le j_1$ Así que $$-j_1 \le m - m_2 \le j_1$$ En particular $m$ puede tomar su valor máximo $j$ y $m_2$ puede tomar su valor máximo $j_2$ lo que da $$-j_1 \le j - j_2 \le j_1$$ De hecho, se puede considerar la situación en la que $m$ toma su valor mínimo $-j$ y $m_2$ toma su valor mínimo $-j_2$ lo que da $$-j_1 \le -j + j_2 \le j_1$$ Pero en realidad se trata de la misma desigualdad después de la reordenación.

Las otras dos situaciones en las que una toma su mínimo y la otra su máximo están prohibidas.