Visualización de la demostración en el libro Smooth Manifolds de Lee de que toda cubierta abierta tiene un refinamiento regular.

Question

Este es el teorema que Lee está demostrando.

(Establece que cualquier cubierta abierta en una variedad lisa tiene un refinamiento regular (un refinamiento que es contable, localmente finito y satisface propiedades ad-hoc adicionales). La prueba se basa en un lema previamente demostrado que afirma que cualquier múltiple lisa tiene una cubierta abierta contable y localmente finita con conjuntos paracompactos).

Lo entiendo todo excepto el último párrafo. En concreto, no consigo visualizar la situación del último párrafo. ¿Alguien puede ayudarme a visualizar la situación? Gracias.

Answer 1

Yo también tuve problemas con el último párrafo al seguir esta prueba. Así es como yo lo entiendo (utilizo $\left\lbrace V_j \right\rbrace$ para referirse a toda la cobertura proporcionada por el lema que demuestra antes, no al conjunto con el único elemento):

1. Cada $W_{i,j}$ también es un $W_p$ para algunos $p \in M$ ya que $\left\lbrace V_j \right\rbrace$ es una cubierta, existe un $V_{s(i,j)}$ tal que $p \in V_{s(i,j)}$ y, por tanto, por el tercer punto, $W_{i,j} \subset V_{s(i,j)}$ .
2. Fije ahora un $W_{k,i}$ . Reclamación: $W_{k,i}$ sólo se cruza con un número finito de conjuntos de la cubierta $\left\lbrace V_j \right\rbrace$ . Explicación: porque $\left\lbrace V_j \right\rbrace$ es localmente finito, $V_{s(k,i)}$ se cruza con un número finito de elementos de $\left\lbrace V_j \right\rbrace$ (véase el Ejercicio 2.9, en el que se da esta caracterización equivalente de la finitud local). Dado que $W_{k,i} \subset V_{s(k,i)}$ la afirmación es la siguiente.
3. Afirmación 2: para cada $V_s$ en la portada $\left\lbrace V_j \right\rbrace$ hay a lo sumo un número finito de conjuntos $W_{l, j}$ que tienen intersección no vacía con $V_s$ . Justificación: si, para un $s$ un número infinito de $W_{l,j}$ se cruzarían $V_s$ entonces también lo harían los elementos de $\left\lbrace V_j \right\rbrace$ asociadas a ellas, es decir, habría infinidad de $V_{s(l,j)}$ 's intersecting $V_s$ contradicción.
4. Así que por 2. cada $W_{k,i}$ interseca finitamente muchos conjuntos en $\left\lbrace V_j \right\rbrace$ y por 3. se deduce que $W_{k,i}$ se cruza como máximo con un número finito de otras $W_{l,j}$ 's.

No parece (a mi parecer) necesario cubrir $\overline{V_k}$ con un número finito de $V_j$ es decir, una necesidad de compacidad de $V_j$ pero yo no me preocuparía por eso, porque la compacidad de cada $\overline{V_k}$ se utiliza de forma crucial en el párrafo anterior.

Espero que esto te haya ayudado.

Answer 2

Tal vez sea más fácil de ver si cambiamos los conjuntos abiertos precompactos dados y $\textit{then}$ definir los gráficos. Para ello, podemos emplear un truco, que creo que aprendí de Munkres en su libro Analysis on Manifolds. Por supuesto, si $M$ es compacto, no hay nada que hacer. En caso contrario, configure $K_{-1}=K_0=\emptyset$ y $K_1=\overline V_1$ y si $\{K_i\}^n_{i=1}$ han sido elegidos, que $m$ sea el primer entero mayor que $n$ tal que $K_n\subseteq \bigcup^m_{i=1}V_i$ y definir $K_{n+1}=\bigcup^m_{j=1}\overline V_j.$

En lo que sigue, he recordado la prueba (¡espero que correctamente!) simplemente haciendo un dibujo de la expansión $K_{i-1},K_i,K_{i+1},K_{i+2}$ y sus interiores, y superponiendo los gráficos.

Para cada $A_{\alpha}\in \Xi,\ $ la cubierta abierta dada, construye el conjunto abierto $(\text{int}K_{i+2}\setminus K_{i-1})\cap A_{\alpha}$ y para cada $p\in (\text{int}K_{i+2}\setminus K_{i-1})\cap A_{\alpha},\ \textit{now}$ tomar gráficos $(U_{p,\alpha},\psi_{p,\alpha})$ tal que $U_{p,\alpha}\subseteq (\text{int}K_{i+2}\setminus K_{i-1})\cap A_{\alpha},\ \psi_{p,\alpha}(p)=0$ y $\psi_{p,\alpha}(U_{p,\alpha})\subseteq B_3(0).$

Si dejamos que $W_{p,\alpha}=\psi^{-1}_{p,\alpha}(B_1(0))$ alors $W_{p,\alpha}\subseteq(\text{int}K_{i+2}\setminus K_{i-1})\cap A_{\alpha}$ . Claramente, $\{W_{p,\alpha}:p\in M,\alpha\in J\}$ refina $\Xi$ . Y, por construcción, $K_{i+1}\subseteq \text{int}K_{i+2}$ así que de la colección $\{W_{p,\alpha}:p\in M,\alpha\in J\}$ obtenemos un recubrimiento finito del conjunto compacto $K_{i+1}\setminus \text{int}K_i.$ Como esto es cierto para cada número entero $i$ obtenemos una secuencia contable de conjuntos $\{(W'_i,\psi'_i)\}^{\infty}_{i=1}$ y estos son los conjuntos que funcionan. De hecho, si $p\in M$ entonces hay un número entero $i$ tal que $p\in \text{int}K_i$ que, por construcción, sólo puede intersecarse con un número finito de $W'_i$ .