Para una solución elemental, se necesita una formulación elemental de colímitos filtrados de $R$ -módulos. A saber, el colimite filered de $R$ -módulos es el $R$ -sobre la unión del colímite filtrado de los conjuntos subyacentes, que es la unión set-teórica de los conjuntos $R$ -módulos.
Entonces un homomorfismo de un finitamente generado $R$ -módulo $X$ a $F(i)$ conjuntos de elección de un número finito de elementos de $F(i)$ (las imágenes de los generadores) que satisfacen las relaciones definitorias. El colímite filtrado $\varinjlim Hom_{\mathcal C}(X,F(i))$ la unión de todas esas elecciones dentro de la unión set-teórica de los $F(i)$ . En $R$ -en la unión es tal que si las relaciones se mantienen para una elección de elementos en uno de los $F(i)$ entonces se mantienen en la resultante $R$ -estructura del módulo. En particular, cada elección de elementos de $F(i)$ se envía a una única elección de elementos de la unión.
Una respuesta puramente categórica procede como sigue (y justifica al final la interpretación colímite filtrada anterior).
Consideremos un diagrama finito $J\colon D\to C$ con colimit $X$ .
Dado que los funtores representables contravariantes envían colímitos a límites, el mapa natural $\varinjlim_i Hom_{\mathcal{C}}(\mathrm{colim}_dJ(d),F(i))\to Hom_{\mathcal{C}}(\mathrm{colim}_dJ(d),\varinjlim_i F(i))$ es igual al mapa natural $\varinjlim_i\lim_d Hom_{\mathcal{C}}(J(d),F(i))\to\lim_d Hom_{\mathcal{C}}(J(d),\varinjlim_i F(i))$ .
Dado que los colímites filtrados conmutan con límites finitos en Set, lo anterior es lo mismo que el mapa natural $\lim_d \varinjlim_i Hom_{\mathcal{C}}(J(d),F(i))\to\lim_d Hom_{\mathcal{C}}(J(d),\varinjlim_i F(i))$ que es el límite (finito) de los mapas naturales $\varinjlim_i Hom_{\mathcal{C}}(J(d),F(i))\to Hom_{\mathcal{C}}(J(d),\varinjlim_i F(i))$ .
Si cada uno de ellos es un monomorfismo, resp. isomorfismo, entonces también lo es el límite. En particular, los objetos finitamente generados o finitamente presentados son estables bajo colímites finitos.
Además, un epimorfismo $X\twoheadrightarrow Y$ induce morfismos $Hom_{\mathcal C}(Y,F(i))\hookrightarrow Hom_{\mathcal C}(X,F(i))$ cuyo pullback a lo largo de sí mismo consiste en identidades, es decir, monomorfismos, de donde $\varinjlim_i Hom_{\mathcal C}(Y,F(i))\to\varinjlim_i Hom_{\mathcal C}(X,F(i))$ también tiene un pullback a lo largo de sí mismo consistente en identidades, es decir, también es un monomorfismo. Así pues, tenemos dos compuestos iguales $\varinjlim_iHom_{\mathcal C}(Y, F(i))\hookrightarrow\varinjlim_iHom_{\mathcal C}(X, F(i))\to Hom_{\mathcal C}(X,\varinjlim_iF(i))$ y $\varinjlim_iHom_{\mathcal C}(Y, F(i))\to Hom_{\mathcal C}(Y,\varinjlim_iF(i))\hookrightarrow \varinjlim_iHom_{\mathcal C}(X, F(i))$ .
Si el mapa natural $\varinjlim_iHom_{\mathcal C}(X, F(i))\to Hom_{\mathcal C}(X,\varinjlim_iF(i))$ es un monomorfismo, entonces también lo son los compuestos, y por tanto también lo es $\varinjlim_iHom_{\mathcal C}(Y, F(i))\to Hom_{\mathcal C}(Y,\varinjlim_iF(i))$ . En particular, si $X$ está finitamente generada y $X\twoheadrightarrow Y$ es un epimorfismo, entonces $Y$ está finitamente generada. En particular, cualquier epimorfismo cuyo dominio es un colímite finito de objetos finitamente generados tiene como codominio un objeto finitamente generado.
Ahora bien, por definición un $R$ -es el codominio de un epimorfismo cuyo dominio es un coproducto finito de copias de $R$ por lo que basta con demostrar que $R$ está finitamente generada en sentido categórico. Dado que $Hom_{\mathcal R-mod}(R,-)$ es el functor olvidadizo de $R$ -a conjuntos, esto equivale a demostrar que el functor olvido preserva los colímites filtrados. El hecho de que $R$ -los módulos se especifican por morfismos a partir de productos finitos que satisfacen ciertas ecuaciones implica que el funtor olvidadizo preserva los colímites tamizados, es decir, los que conmutan con productos finitos, por lo que en particular preserva los colímites filtrados, como se deseaba.
