¿Cómo demostrar esta desigualdad supuestamente sencilla?

Question

El libro de texto dice que la siguiente desigualdad "se deduce con bastante facilidad", pero no veo por qué.

Dado $\alpha \lt 1 \lt \beta$ y $\psi : \mathbb{R}_{\ge 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0}$ creciente, demuestre que eso:

$$\frac{1}{(1-\alpha)x}\int_{\alpha x}^x\psi(u)du \le \psi(x) \le \frac{1}{(\beta-1)x}\int_x^{\beta x} \psi(u)du$$

Creo que se puede suponer que $\alpha$ no es negativo.

Answer 1

Usted tiene $\psi(u) \leq \psi(x)$ para $u \in [\alpha x,x]$ . Integración con respecto a $u$ da $\int_{\alpha x}^x \psi(u) du \leq \psi(x)(x - \alpha x) = \psi(x) (1-\alpha) x$ o equivalentemente, $\frac{1}{1-\alpha} \int_{\alpha x}^x \psi(u) du \leq \psi(x)$ . El otro lado de la desigualdad sigue la misma línea de razonamiento.

Answer 2

Pista: Se supone que $\psi$ es una función continua en $[\alpha,\beta]$ por lo que utilizando Primer teorema del valor medio es útil.

Answer 3

Sea $\Phi$ sea la primitiva de $\phi$ . Tenemos $$\frac{\Phi(x)-\Phi(\alpha x)}{x-\alpha x}\le \phi(x)$$ Porque es la media de $\Phi' = \phi$ en $(\alpha x,x)$ que es inferior a $\phi (x)$ por monotonía. Lo mismo se aplica para $\beta$ en sentido contrario.