Diversas definiciones de grupo de acción

Question

Lo siento por el largo post, pero esta es una pieza de matemáticas, y yo necesitaba para ser más precisos como sea posible.

Existe una conocida equivalencia entre la categoría de $G$-y los conjuntos de la categoría de functors $Fun(G,\mathbf{Sets})$ (ver $G$ como una categoría con un solo objeto $*$): dado un conjunto $X$ solamente se considera el único functor el envío de $*$ a $X$; functoriality determina el conocido clásico de permutación representación $G\to Sym(X)$, que fácilmente conduce a la equivalente de la noción de una acción como un mapa de $G\times X\to X$ con propiedades adecuadas.

También es bien sabido que la noción de "acción" de un grupo de "objeto" puede ser declarada en cualquier categoría con finito de productos y una terminal de objeto (por ejemplo, $1$).

Me gustaría relacionar las dos nociones: comencé a notar que la primera relación carece de elasticidad, que se formulan en el caso particular de la categoría de conjuntos. Mi primera tarea es, por tanto, generalizar la noción de la acción de un grupo sobre algunos $X$, objeto en $\mathbf C$ (categoría w. finito de productos y una terminal de objeto). Me parece que me las puede definir como un functor $G\to \mathbf C$ envío de $*$ a $X$: Functoriality me permiten pensar que cualquier $g\in G$, visto como un isomorfismo $g\colon *\to *$, corresponde a través de $F$ a un isomorfismo en $\mathbf C$, $G$ está relacionado con un subconjunto(subgrupo) en $\hom_\mathbf C(X,X)$.

Así, parece que hemos recuperado la noción de permutación representación en este contexto más general. Además, a mí me parece que cuando consideramos, por ejemplo, un functor $F\colon G\to \mathbf{Top}$ ($G$ un grupo en esa categoría, es decir, un grupo topológico), la mera functoriality me permite decir que $G\times X\to X$ es un continouos mapa (de manera similar considerar luego la subcategoría de $\mathbf{Top}$ hecho por diferenciable colectores, $G$ es una Mentira de grupo y la acción de un suave mapa).

Podemos ir más allá? Moerdijk define la acción de un groupoid en un espacio de $\mathbf G=(s,t:G_\text{mor} \to G_\text{ob})$ como una flecha $\mu\colon G_\text{mor}\times_{G_\text{ob}} E\to E$ con propiedades adecuadas. Esto es en parte similar a una idea que me dieron ayer, pensando en la forma más adecuada para ampliar la noción de $G$ que actúa sobre algo.

En pocas palabras, puedo comenzar a identificar la $G$$\hom(*,*)$, los grupos en conjunto teórico sentido respecto de la composición. Decir que una acción de $G$ sobre un objeto $X$ $\mathbf C$ es una función de $\hom(*,*)\times \hom(1,X)\to \hom(1,X)$ que es una acción en la configuración clásica de la teoría de sentido: es formalmente correcta? Puede este enfoque se aplica en un "caso real"? ¿Me pueden brindar una referencia para la definición que dio de Moerdijk groupoid-acción, que he leído no sé-donde MO?

Gracias a todos.

Answer 1

Esto no es una respuesta completa, pero pensé que sería útil para que los escriban en más detalles de los que cabrían en el espacio proporcionado.

En primer lugar, me gustaría observar que tanto las definiciones equivalentes de la acción de grupo admitir generalizaciones:

1. La definición usando un homomorphism $G \to \text{Aut}(X)$ generaliza de forma directa al caso en el $G$ es un (discreta) de grupo y $X$ un espacio vectorial, dando lugar a la noción de representaciones lineales de grupos.

2. La definición usando un mapa de $G \times X \to X$ generaliza de forma directa al caso en el $G$ es un grupo topológico y $X$ topológico, espacio, dando lugar a la noción de grupo continuo de las acciones en espacios topológicos.

Tu pregunta parece estar preguntando si podemos encontrar una definición que contemple tanto las ramas de las generalizaciones. No es una pregunta irracional - después de todo, dos de los ejemplos anteriores convergen cuando tenemos una continua representación lineal de un grupo topológico.

Vamos a tratar de formular categóricamente la equivalencia de las dos definiciones en $\textbf{Set}$, y ver cómo van las cosas cuando tratamos de cambiar a una más general de la categoría. En primer lugar, tomamos nota de que un grupo pequeño es equivalente

1. una categoría $\mathcal{G}$ enriqueció a lo largo de $\textbf{Set}$ con un objeto y todas las flechas invertible, y
2. un conjunto $G$ equipado con mapas $m : G \times G \to G$, $e : 1 \to G$, $i : G \to G$ la satisfacción de que el grupo de axiomas.

La conexión entre las dos definiciones se expresa por la ecuación de $\mathcal{G}(*, *) = G$ donde $*$ es el único objeto en $\mathcal{G}$. El uso de la primera definición, un grupo de acción de $G$ es simplemente cualquier functor $\mathscr{F} : \mathcal{G} \to \textbf{Set}$. Centrándose en el hom-conjuntos, vemos que tenemos una monoid homomorphism $G \to \textbf{Set}(X, X)$ donde $X = \mathscr{F}(*)$, y dado que el dominio es un grupo, el codominio, debe recaer en $\text{Aut}(X) \subseteq \textbf{Set}(X, X)$. Así tenemos la primera definición de la acción de grupo.

Ahora, hay que recordar que la $\textbf{Set}$ es un cartesiana cerrada categoría (de hecho, un topos), por lo que, en particular, tenemos la exponencial objetos de $Y^X$, los cuales son definidos por los siguientes universal de los bienes: $\text{Hom}(Z \times X, Y) \cong \text{Hom}(Z, Y^X)$ naturalmente en $Z$$Y$. Por lo tanto, podemos identificar el mapa de $G \to \textbf{Set}(X, X)$ con un mapa de $G \times X \to X$, y la traducción de la homomorphism axiomas a través de esta identificación le da a la segunda definición de la acción de grupo.

Considere un grupo de objetos de $G$ en un cartesiano categoría monoidal $(\mathcal{C}, \times, 1)$. Esto puede ser visto como una categoría $\mathcal{G}$ enriqueció a lo largo de $\mathcal{C}$. Entonces, una acción de $G$ sobre un objeto $X$ en otra categoría $\mathcal{D}$ enriqueció a lo largo de $\mathcal{C}$ es simplemente un $\mathcal{C}$enriquecido functor $\mathcal{G} \to \mathcal{D}$. Si $\mathcal{D}$ es tal, que hay un $\mathcal{C}$enriquecido "olvidadizo" functor $U : \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ es un cartesiana cerrada categoría, podemos hacer el mismo truco que antes y obtener una flecha $G \times X \to X$$\mathcal{C}$.

En particular, si $\mathcal{C}$ es un cartesiana cerrada de la categoría, que se ha enriquecido sobre sí mismo. En efecto, considerar la counit $\epsilon_{Z,X} : Z^X \times X \to Z$ del producto exponencial de contigüidad. Si queremos componer con $\text{id} \times \epsilon_{X,Y} : Z^X \times X^Y \times Y \to Z^X \times X$, se obtiene un mapa de $Z^X \times X^Y \times Y \to Z$, de la cual podemos tomar transponer para obtener un mapa de $Z^X \times X^Y \to Z^Y$, que es la composición de las flechas. De este modo podemos recuperar la noción de grupo continuo de las acciones, al menos en el caso de que tanto en el grupo y el espacio que actuó en son de forma compacta generado espacios de Hausdorff...

Answer 2

Permítanme proponer una mejor generalización.

Vamos a definir la categoría de $Def_1(Grp)$ a ser una categoría sintáctica generado por uno (sintáctica) objeto de grupo. Los objetos son $1$, $G$, $G \times G$, $G \times (G \times G)$ y $(G \times G) \times G$, mientras que la (no trivial) las flechas son los mapas de proyección (todavía sintáctica!), un producto $m : G \times G \rightarrow G$ que es asociativa, una unidad de $u : 1 \rightarrow G$, e inversa mapa de $i : G \rightarrow G$ respetando el grupo axioma en el diagrama. Para los objetos anteriores a ser el producto en la categoría de sentido, agregar el universal flechas procedentes de la anterior que no trivial (flecha diagonal, isomorfismo canónico, y todas las otras flechas se puede construir mediante la aplicación de las propiedades universales).

Un grupo de objetos en $\mathcal{C}$ es un continuo functor de$Def_1(Grp)$$\mathcal{C}$, y homomorphism de los objetos de grupo son simplemente naturales transformaciones entre tales functors. Por ejemplo, el functorial categoría $Sets^{Def_1(Grp)}$ es, obviamente, equivalente a $Grp$.

Ahora, un grupo de acción en el sentido usual, es que los datos de un grupo y de un "conjunto" $E$ respetando el conocido axioma. Definir $Def_1(Grp Act)$ a la categoría sintáctica del grupo anterior objeto definido anteriormente más un objeto de $E$ y uno no trivial de flecha $\alpha : G \times E \rightarrow E$ respetando el siguiente axioma:

1) $\alpha \circ ( (u\circ !) \times Id_E) = p_E$ (unidad se estabilice todo el mundo, con $! : G \rightarrow 1$ el único terminal mapa, y $p_E$ el derecho de proyección venida del producto $G \times E$)

2) $\alpha \circ (Id_G \times \alpha) = \alpha \circ (m \times Id_E)$ (asociatividad de la acción el modulo (canónica) isomorfismo de$G \times ( G \times E)$$(G \times G) \times E)$.

Ahora, suponiendo que la categoría anterior está muy bien construida (es decir, cumplir todo lo que quieras), un grupo de acción en $\mathcal{C}$ es un continuo functor de$Def_1(Grp Act)$$\mathcal{C}$. Equivariant mapas se dan por natural transformaciones, y usted puede comprobar que esto se generaliza lo que usted desea a todas las categorías abstractas.

Permítanme añadir algún comentario. En la categoría de teoría, la buena noción de la acción es (I) el siguiente: Deje $\mathcal{C}$ $\mathcal{D}$ dos categorías abstractas. Una categórica (a la izquierda) la acción de $\mathcal{C}$ $\mathcal{D}$ es un functor $\alpha : \mathcal{C} \times \mathcal{D} \rightarrow \mathcal{D}$ tal que para todos los objetos de $A$ de $\mathcal{C}$, $\alpha(Id_A,-) =$ identidad functor en $\mathcal{D}$. Uno puede fácilmente comprobar que dicha definición respeta algunas de intercambio de las leyes, y puede (creo) incluso se puede utilizar con el fin de construir una noción de categoría superior a la teoría.