Referencia del álgebra de Hopf

Question

Hablaba esta mañana con un colega que piensa en álgebras combinatorias de Hopf. Mencionó varios anillos, de interés en combinatoria, para los que no sabía si existía una estructura de Hopf. Pude descartar varios por el siguiente resultado:

Si A es un álgebra conmutativa finitamente generada sobre un campo de característica 0, y A tiene una estructura de Hopf, entonces A es un anillo regular.

Así que, dos preguntas:

(1) La única referencia que conozco para esto es el artículo de Tate sobre esquemas de grupo en "Modular Forms and Fermat's Last Theorem". ¿Alguien conoce una versión dirigida a un lector al que le guste más el álgebra que la geometría? (Así, por ejemplo, "álgebra de Hopf" es un término más amigable que "esquema de grupo").

(2) ¿Existe alguna generalización útil que elimine "conmutativa" o "finitamente generada"?

Answer 1

Oort tiene una prueba elemental de que los esquemas de grupo en char. 0 son reducidos -- ver MR0206005.

Answer 2

Sobre su pregunta (2). Cuando se elimina la conmutatividad es un problema abierto/conjetura que toda álgebra de Hopf noetheriana es Auslander-Gorenstein, véase la pregunta 3.5 en https://www.cambridge.org/core/journals/glasgow-mathematical-journal/article/noetherian-hopf-algebras/DAC39E641D0715E94C7459AD31EF0315

Nótese que los anillos Auslander-Gorenstein (Auslander regulares) son la generalización no conmutativa debida a Auslander (motivada por resultados de Bass) de los anillos conmutativos Gorenstein (regulares).

Aquí un anillo $R$ es Auslander-Gorenstein cuando tiene dimensión inyectiva finita en ambos lados y existe una solución corespondiente inyectiva $0 \rightarrow R \rightarrow I^0 \rightarrow I^1 \rightarrow ...$ tal que la dimensión plana de $I^i$ es como máximo $i$ . Se denomina regular de Auslander si además tiene dimensión global finita.