por qué $\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos(\beta - \alpha)$ ?

Question

Estoy estudiando álgebra lineal y hay un capítulo en un libro que dice sobre el vector unitario y dice esto $$\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta = \cos(\beta - \alpha)$$ ¿Por qué? Soy novato y necesito una respuesta muy detallada. ¿El alfa y el beta apenas representan el ángulo a y el ángulo b y no tiene ningún significado especial?

puedes echar un vistazo a la imagen adjunta del libro:

Answer 1

Sea $u = (\cos \theta, \sin \theta )$ y $v = (\cos \beta, \sin \beta)$ alors $u\cdot v = ||u||\cdot ||v||\cdot \cos (\beta - \theta)$ y de ahí se desprende tu identidad.

Answer 2

Recordemos que la matriz de rotación (en sentido contrario a las agujas del reloj) por ángulo $\theta$ es $$\begin{bmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{bmatrix}.$$

Considere la posibilidad de girar en ccw un ángulo de $\beta$ y luego en el sentido de las agujas del reloj en un ángulo de $\alpha$ . Esto corresponde a la matriz: $$\begin{bmatrix}\cos(\beta-\alpha)&-\sin(\beta-\alpha)\\\sin(\beta-\alpha)&\cos(\beta-\alpha)\end{bmatrix}.$$

Por otro lado, puede calcularse aplicando las rotaciones de una en una y multiplicando las matrices. En otras palabras, esta rotación es lo mismo que $$\begin{bmatrix}\cos(-\alpha)&-\sin(-\alpha)\\\sin(-\alpha)&\cos(-\alpha)\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos(\beta)&-\sin(\beta)\\\sin(\beta)&\cos(\beta)\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\cos(\alpha)&\sin(\alpha)\\-\sin(\alpha)&\cos(\alpha)\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos(\beta)&-\sin(\beta)\\\sin(\beta)&\cos(\beta)\end{bmatrix}.$$ Como se trata de dos formas diferentes de escribir lo mismo, las entradas correspondientes son las mismas, y por tanto $\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)=\cos(\beta-\alpha)$ .

Answer 3

Creo que algunas de las respuestas anteriores utilizan la propiedad más que demostrarla o indicar de dónde procede. Para una demostración geométrica básica, véase http://www.themathpage.com/atrig/sum-proof.htm