Variación de la gamma inversa: 1/X^r ~ inv_Gamma(?, ?)

Question

(es la primera vez que escribo aquí, lo siento si falta alguna convención)

Si X ~ Gamma(a, b) entonces 1/X ~ inv_Gamma(a, b)

por lo tanto, si

Si X ~ Gamma(a, b) entonces 1/X^r ~ inv_Gamma(?, ?)

Mi cerebro está explotando no tengo grandes habilidades matemáticas por desgracia.

Answer 1

Si $X \sim G \left( a,b \right)$ es una variable aleatoria gamma con parámetro de forma $a$ y el parámetro de escala $b$ con media $ab,$ entonces $X^r$ (donde $r>0$ ) es una variable aleatoria gamma generalizada con tres parámetros. El primer parámetro de forma es $a,$ el parámetro de escala será $b^r,$ y el segundo parámetro de forma es $1 \over r$ .

Lo escribimos como $Y=X^r \sim GG \left(a,b^r,{1 \over r} \right)$

Aquí se ofrecen más detalles: http://mathscience.kiau.ac.ir/Content/Vol4No1/2.pdf

El recíproco de $Y$ tiene una distribución gamma inversa generalizada. Una referencia para eso está aquí: https://arxiv.org/pdf/1005.3274.pdf

Answer 2

¿Ha consultado Wikipedia? Las respuestas se pueden encontrar allí, pero hay que reunirlas a partir de varias páginas. La primera, https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse-gamma_distribution la distribución gamma inversa es la distribución de la inversa $1/X$ cuando $X$ tiene una distribución gamma, por lo que leyendo esa definición a la inversa, la inversa de una variable aleatoria gamma inversa debe tener una distribución gamma. Preguntas por la distribución de la $r$ poder de eso, es decir, la $r$ potencia de una variable aleatoria gamma. Según https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution#Related_distributions_and_properties que tienen una distribución gamma generalizada, sobre la que puedes leer aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_gamma_distribution