Renormalización de Wick

Question

Estoy tratando de entender la renormalización de Wick en el marco de la integral de Ito.

Vi el teorema de Wick tal como se presenta en Wikipedia en un curso de QFT y me gustaría entender cómo es equivalente al que sigue.

En primer lugar, permítanme definir la integral múltiple de Ito. Dado un espacio de Hilbert $H$ considera $H^{\hat\otimes n}$ que es el producto tensorial simetrizado de $H$ consigo mismo $n$ -veces. Dado un elemento $f_n\in H^{\hat\otimes n}$ : \begin{equation} f_n=\sum_{finite}f_{i_1\cdots i_n}e_{i_1}^{k_1}\hat\otimes\cdots\hat\otimes e_{i_m}^{k_m} \end{equation} donde $\{e_1,\ldots,e_n\}$ es una base ortonormal de $H$ y $i_1,\ldots, i_n$ son todas diferentes, la integral múltiple de Ito $I_n(f_n)$ es: \begin{equation} I_n(f_n):=\sum_{finite}f_{i_1\cdots i_n} H_{k_1}(e_{i_1})\hat\otimes\cdots\hat\otimes H_{k_m}(e_{i_m}) \end{equation} donde el $H_i$ son los polinomios de Hermite.

Entonces dado $f_n\in H^{\hat\otimes n} $ , $g_m\in H^{\hat\otimes m}$ definimos el producto Wick $\diamond$ : \begin{equation} I_n(f_n)\diamond I_m(g_m)=I_{n+m}(f_n\hat\otimes g_m) \end{equation} Por lo tanto, podemos definir potencias de $f$ y polinomios utilizando este producto de Wick que debería ser equivalente al mencionado anteriormente.

¿Alguien puede darme alguna pista para entender cómo se relacionan estas cosas?

Para más detalles una posible referencia es: http://arxiv.org/abs/0901.4911

Answer 1

Encontré un papel que me ayudó un poco a entender cómo funcionan las cosas. Esto es lo que he entendido.

Dada una variable aleatoria definimos una serie de potencias formal y una derivación formal tales que: \begin{equation} \frac{\partial}{\partial U}\left(\sum_{n=0}^\infty a_nU^n\right)=\sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}U^n \end{equation} El producto Wick "de siempre $:\ :$ se define recursivamente de forma que satisfaga: \begin{equation*} \begin{split} :U^0:&=1\\ \frac{\partial}{\partial U}:U^n:&=n:U^{n-1}:\\ \mathbb{E}(:U^n:)&=0 \end{split} \end{equation*} Estas relaciones implican: \begin{equation*} \begin{split} :U:&=U-\mathbb{E}(U)\\ :U^2:&=U^2-2U\mathbb{E}(U)-\mathbb{E}(U^2)+2\mathbb{E}(U)^2\\ \end{split} \end{equation*} etc.

Para una variable aleatoria gaussiana de media cero $U$ con varianza $\sigma^2$ implican estas relaciones: \begin{equation} :U^n:=\sigma^nH_n(\frac{U}{\sigma}) \end{equation} Esto demuestra que en el caso de variables aleatorias gaussianas el producto de Wick "habitual" reproduce el resultado obtenido en el marco de It $\hat{o}$ cálculo.