mínimo de dos densidades de probabilidad

Question

Consideremos una densidad de probabilidad suave $\pi(x)$ en $\mathbb{R}^d$ . Busco natural para la integral $\iint_{u,v} \ \min\big(\pi(u), \pi(v) \big) \ du \ dv$ ser finito. Si $\pi$ es una densidad radialmente decreciente, esto es equivalente a la condición $\mathbb{E}\big[ \|X\|^{d} \big] < \infty$ . ¿Existen densidades suaves que verifiquen esta condición de momento tal que $\iint_{u,v} \ \min\big(\pi(u), \pi(v) \big) \ du \ dv = \infty$ ?

Sin respuesta en math.stackexchange . Esta integral apareció al estudiar una cadena de Markov Metrópolis-Hastings.

Answer 1

Si $\mathbb{E}\left[\lVert[ X\rVert^d\right]$ es finita, entonces la integral de la pregunta es necesariamente finita. Como ya se ha dicho, esto es así siempre que $\pi$ es radialmente decreciente. Sin embargo, en el caso general, se pueden intercambiar regiones con igual volumen en $\mathbb{R}^d$ para acercar las grandes regiones de probabilidad al origen. Hacer esto no tiene ningún efecto sobre la integral en cuestión, pero sólo puede disminuir $\mathbb{E}\left[\lVert[ X\rVert^d\right]$ . Por lo tanto, se reduce al caso de disminución radial.

No es difícil hacer más rigurosa esta idea. Si $\pi(x)$ es "radialmente decreciente", de modo que es una función decreciente de $\lVert x\rVert$ entonces

$$ \begin{align} \iint \min\left(\pi(x),\pi(y)\right)\,dxdy&=2\iint_{\lVert y\rVert\le\lVert x\rVert}\pi(x)\,dxdy\cr &=2K\iint\lVert x\rVert^d\pi(x)\,dx=2K\mathbb{E}\left[\lVert X\rVert^d\right] \end{align} $$ donde $K$ es el volumen de la bola unitaria en $\mathbb{R}^d$ . En el caso general, tenemos $$ \mathbb{E}\left[\lVert X\rVert^d\right]=\int_0^\infty\int_{\pi(x)\ge p}\lVert x\rVert^d\,dxdp. $$ Dejar $S_p=\lbrace x\colon\pi(x)\ge p\rbrace$ entonces, para un volumen dado $V_p$ para $S_p$ la integral $\int_{S_p}\lVert x\rVert^ddx$ se minimiza cuando $S_p$ es una bola alrededor del origen. En particular, si definimos una función radialmente decreciente $\tilde\pi\colon\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}$ por $$ \tilde\pi(x)=\sup\lbrace p\in\mathbb{R}\colon K\lVert x\rVert^d\le V_p\rbrace $$ entonces $\lbrace x\colon \tilde\pi(x)\ge p\rbrace=\lbrace x\colon K\lVert x\rVert^d\le V_p\rbrace$ tiene volumen $V_p$ . Así que.., $ \mathbb{E}\_{\tilde\pi}\left[\lVert X\rVert^d\right]\le\mathbb{E}\_\pi\left[\lVert X\rVert^d\right]. $

Además, la integral $\iint\min(\pi(x),\pi(y))\,dxdy$ no se modifica al pasar a $\tilde\pi$ . Esto se deduce del hecho de que $\tilde\pi=\pi\circ f$ (en casi todas partes) para algún isomorfismo de Borel (Lebesgue) que preserve la medida de $\mathbb{R}^d$ . Alternativamente, la igualdad puede verse mostrando que la integral sólo depende de $V_p$ , $$ \begin{align} \iint \min\left(\pi(x),\pi(y)\right)\,dxdy &=2\int\pi(x)V_{\pi(x)}\,dx\cr &=-2\int pV_p\,dV_p=\int_0^\infty V_p^2\,dp. \end{align} $$

Entonces, mejor que la finitud de la integral, tenemos la desigualdad $$ \begin{align} \iint \min\left(\pi(x),\pi(y)\right)\,dxdy&=\iint \min\left(\tilde\pi(x),\tilde\pi(y)\right)\,dxdy\cr &=2K\mathbb{E}\_{\tilde\pi}\left[\lVert X\rVert^d\right]\cr &\le2K\mathbb{E}\_{\pi}\left[\lVert X\rVert^d\right], \end{align} $$ que es una igualdad siempre que $\pi$ es radialmente decreciente.

Answer 2

Una condición suficiente fácil (aunque no necesariamente útil o natural, dependiendo de lo que sepas sobre $\pi$ ) es $\int \sqrt{\pi(u)} \ du < \infty$ ya que $\min(a,b) \le \sqrt{ab}$ para $a,b \ge 0$ .

Answer 3

No es una respuesta todavía, pero algunas ideas pueden conducir a una...

Sea $$G(z) = \int \mathbb{1}_{\pi(y)\geq z} ~dy$$

entonces $$I = \int \int_{x,y} \min( \pi(x), \pi(y) )~dx~dy = 2 \int \pi(x) G(\pi(x))~dx$$

$$I = 2 \int_{0}^{\pi_{\max}} z G(z) \int \mathbb{1}_{\pi(x)=z} dx dz$$

$$I = 2 \int_{0}^{\pi_{\max}} zG(z)G'(z) dz$$

edit: parece que ya hay una respuesta elegante