¿Tiene el álgebra de Temperley-Lieb una forma Z?

Question

Fondo Sea V el módulo estándar (bidimensional) del álgebra de Lie sl ₂ (C), o equivalentemente para la envoltura universal U = U(sl ₂ (C)). El álgebra de Temperley-Lieb TL _d es el álgebra de los entrelazamientos de la d-fold potencia tensorial de V.

TL _d \= Fin _U (V⊗ ⊗V)

Ahora, dejemos que el grupo simétrico, y por tanto su álgebra de grupo CS _d actúan a la derecha de V⊗ ⊗V permutando factores tensoriales. Según la dualidad Schur-Weyl, V⊗ ⊗V es una (U,CS _d )-bimódulo, con la imagen de cada álgebra dentro de End _C (V⊗ ⊗V) siendo el centralizador del otro.

En otras palabras, TL _d es un cociente de CS _d . El núcleo es fácil de describir. Primero descomponemos el álgebra de grupo en sus componentes de Wedderburn, un álgebra matricial por cada irrep de S _d . Estos están en biyección con particiones de d, que debemos imaginar como diagramas de Young. La representación es fiel en cualquier componente indexada por un diagrama con a lo sumo 2 filas y aniquila todas las demás componentes.

Hasta ahora, he evitado deliberadamente la descripción del álgebra de Temperley-Lieb como álgebra de diagramas en el sentido en que la describe Kauffman. He aquí el problema: al cambiar las variables en S _d a u _i \= s _i + 1, donde s _i \= (i i+1), los coeficientes de estructura en TL _d son todos enteros, de modo que se puede definir una forma ℤ TL _d (ℤ) mediante estas fórmulas.

TL _d \= C ⊗ TL _d (ℤ)

Como producto de álgebras matriciales (como en la descomposición de Wedderburn), TL _d también tiene una forma ℤ, es decir, matrices de las mismas dimensiones sobre ℤ. Estos dos anillos son muy diferentes, siendo el último bastante trivial desde el punto de vista de la teoría de nudos. Sólo se vuelven isomorfos tras un cambio de base a C.

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Existe un superanálogo de toda esta historia. Sea U = U(gl _1|1 (C)), que V sea el módulo estándar (1|1)-dimensional, y que el grupo simétrico actúe por permutaciones con signo (cuando dos vectores impar se cruzan, aparece un signo). Se cumple un enunciado análogo de dualidad Schur-Weyl, y así, por analogía, llamo al álgebra de entrelazamientos álgebra de super-Temperley-Lieb, o STL _d .

Sobre los números complejos, STL _d es un producto de álgebras matriciales correspondientes a las irreps de S _d indexados por particiones gancho. Los diagramas de Young se limitan a una fila y una columna (¡superfila!). En ese sentido, STL _d se entiende. Sin embargo, los idempotentes implicados en la proyección sobre estos componentes de Wedderburn son cosas desagradables que no pueden definirse sobre ℤ

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Pregunta 1: ¿Tiene STL _d tienen una forma ℤ compatible con la base estándar para CS _d ?

Pregunta 2: Soy pesimista respecto a la Q1; de ahí la pregunta: ¿por qué no? Sospecho que tiene algo que ver con la celularidad.

Pregunta 3: Me importan las deformaciones q de todo lo mencionado: U _q y el álgebra de Hecke, respectivamente. ¿Y aquí? Busco una presentación de STL _d,q definido sobre ℤ[q,q -1 ].

Answer 1

Depende de lo que entiendas por "compatible". Para cualquier forma Z de un álgebra C de dimensión finita, hay una forma Z canónica para cualquier cociente simplemente dada por la imagen (la imagen es un subgrupo abeliano finitamente generado, y por tanto una red). Observaré que la forma integral que Bruce sugiere a continuación es precisamente la inducida de este modo por la base de Kazhdan-Lusztig, ya que su presentación es la presentación del álgebra de Hecke a través de los vectores base de K-L para las reflexiones, con las relaciones adicionales.

Lo que se puede perder cuando se toman cocientes es la positividad (que supongo que es una de las cosas que se persiguen). El álgebra de Hecke de S_n tiene una base tan bonita que la llamaría "canónica", pero que se suele llamar Kazhdan-Lusztig. Esta base tiene una propiedad de positividad muy fuerte (sus coeficientes estructurales son polinomios de Laurent con coeficientes enteros positivos). Yo diría que esta es la estructura que te interesa preservar en el cociente.

Si quieres que una base de un álgebra descienda por un cociente, más te vale que la intersección de la base con el núcleo sea una base del núcleo (de modo que la imagen de la base sea una base y un montón de 0's). Un ideal en el álgebra de Hecke que tiene una base dada por un subconjunto de la base KL se llama "celular".

El núcleo del mapa a TL _d y, de forma más general, a Fin _{<code>U_q(sl_n)</code>} (V ⊗d ) para cualquier n y d, es celular. Básicamente, esto se debe a que las particiones correspondientes a las representaciones matadas forman un ideal de orden superior en el poset de dominancia de las particiones.

Sin embargo, el núcleo del mapa a STL _d es no celular. En particular, todo ideal celular contiene la representación alterna, por lo que cualquier cociente en el que sobreviva la representación alterna no es celular. Por tanto, aunque STL _d hereda una forma Z perfectamente buena, no hereda ninguna base particular del álgebra de Hecke.

Realmente no estoy seguro de que esto sea un problema desde su punto de vista. Es decir, la representación V ⊗d sigue teniendo una base sobre la que la imagen de cualquier combinación lineal integral positiva de vectores base KL actúa con coeficientes integrales positivos. Sin embargo, no creo que esto garantice ningún tipo de positividad de los coeficientes de estructura. Además, Stroppel y Mazorchuk tienen una categorización de la base Artin-Wedderburn de S_n, así que quizá no sea tan malo como pensabas.

De todos modos, si la gente quiere tener una discusión real sobre esto, sugiero que nos retiremos al nLab. He iniciado un página correspondiente allí.

Answer 2

Yo definiría esta álgebra mediante una presentación. Esta álgebra es sobre $\mathbb{Z}[\delta]$ pero puede especializarse en $\mathbb{Z}[q,q^{-1}]$ tomando $\delta\mapsto q+q^{-1}$ .

Los generadores son $u_1,\ldots ,u_{n-1}$ (Tengo $n$ donde OP tiene $d$ ). Entonces las relaciones definitorias son
$$u_i^2=\delta u_i$$ $$u_iu_j=u_ju_i\qquad\text{if $ |i-j|>1 $}$$ $$u_iu_{i+1}u_i-u_i=u_{i+1}u_iu_{i+1}-u_{i+1}$$ $$u_{i-1}u_{i+1}u_i(\delta-u_{i-1})(\delta-u_{i+1})=0$$ $$(\delta-u_{i-1})(\delta-u_{i+1})u_iu_{i-1}u_{i+1}=0$$

¿Esto cuenta?

Si quieres mover esto a nLab me parece bien.

Answer 3

En vista del comentario del OP de que $\mathrm{STL}_d$ es un producto de álgebras matriciales correspondientes a las irreps de $S_d$ indexado por particiones de gancho, ¿no debe la red de ramificación de la torre de las súper álgebras de Temperley-Lieb $\mathrm{STL}_d$ para $d \geq 1$ ¿el triángulo de Pascal? Se sabe que el triángulo de Pascal es la celosía de ramificación de la torre de de dos parámetros Blob álgebras $\mathrm{b}_d(q,m)$ para $d \geq 1$ según la definición de Martin/Saleur (véase, por ejemplo https://arxiv.org/pdf/hep-th/9302094.pdf ). Aquí $q$ es un parámetro continuo mientras que $m$ es un número entero, y $\mathrm{b}_d(q,m)$ puede presentarse mediante generadores $U_0, \dots, U_{d-1}$ sujeta a las relaciones

$$\begin{equation} \begin{array}{ll} U_i U_{i+1}U_i = U_i &\text{for $1 \leq i \leq d-2$} \\ U_{i+1}U_iU_{i+1}= U_{i+1} &\text{for $1 \leq i \leq d-2$} \\ U_1 U_0 U_1 = [m-1]_q \, U_1 & \\ U_i^2 = -[2]_q \, U_i & \\ U_0^2 = -[m]_q \, U_0 & \\ U_i U_j = U_j U_i &\text{whenever $|i-j|>1$} \end{array} \end{equation}$$

En consecuencia $\mathrm{STL}_d \cong \mathrm{b}_d(q,m)$ para todos $d \geq 1$ al menos para valores genéricos de $q$ . Además, de nuevo para valores genéricos de $q$ una ejecución de fuerza bruta de la regla de Pieri muestra que, como álgebras matriciales

$$\begin{equation} \mathrm{b}_d(q,m) \cong \mathrm{End}_{\mathrm{U}_q ({\frak{sl}_2})}\big( V^{\otimes d} \otimes \mathrm{Sym}^d V \big) \quad \text{for $d \geq 1$} \end{equation}$$

donde $V$ es la representación bidimensional definitoria de $\mathrm{U}_q ({\frak{sl}_2})$ .

Tal vez estoy fuera de lugar, pero ¿no debería haber una manera de conciliar la adecuada $q$ -deformación de $\mathrm{STL}_d$ con los parámetros que definen el álgebra de manchas $\mathrm{b}_d(q,m)$ o su primo isomorfo $\mathrm{End}_{\, \mathrm{U}_q ({\frak{sl}_2})}\big( V^{\otimes d} \otimes \mathrm{Sym}^d V \big)$ . Además, el álgebra de manchas lleva una traza de Markov que es coherente con una estructura celular atendida (por ejemplo, abordada aquí https://arxiv.org/pdf/0911.1923.pdf ) y quizás esta sea una forma de identificar dicha estructura para $\mathrm{STL_d}$ .

Lo mejor, Ines.