Diferenciales parciales

Question

Acabo de empezar a aprender acerca de las EDP y estoy luchando con esta pregunta.

Considere la ecuación $$\cos^2(x) \frac{\partial{u}}{\partial x} + y \frac{\partial{u}}{\partial y} =0$$ Halla las curvas características de forma explícita. Obtener la solución general de la EDP. Para cada una de las siguientes condiciones de contorno, encontrar la solución particular o explicar por qué no existe:

• (a) $u(0, y) = y^2$ .
• (b) $u(x, 0) = x^2$ .

Hasta ahora lo he hecho pero no estoy seguro de cómo completar la pregunta:

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{\cos^2(x)}$

$\int_y\dfrac{dy}{y} = \int_ x\dfrac{dx}{\cos^2(x)}$

$\ln(y)= \tan(x) +C$

$y= C e^{\tan(x)}$

$C=y e^{-\tan(x)}$

$u=f(e^{-\tan(x)})$

Answer 1

Afirmo que (a) es resoluble y (b) es un problema característico. Bien, tenemos la EDP

$$\cos^2(x) \frac{\partial{u}}{\partial x} + y \frac{\partial{u}}{\partial y} =0$$

con condiciones iniciales

$$\begin{cases} \text{(a) } ~ u(0, y) = y^2 \\ \text{(b) } ~ u(x, 0) = x^2 \end{cases}$$

Lo hacemos con el método de las características. Existe un buen criterio determinista para comprobar si nuestro problema de Cauchy no es característico. Para una curva inicial $\gamma$ y una PDE a $u_x+bu_y=c$ viene dada por

$$\begin{vmatrix}a|_\gamma & x_0' \\ b|_\gamma & y_0'\end{vmatrix}\neq0 \Longrightarrow \text{non-characteristic Cauchy problem}$$

(a) $~\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ y_0 & 1\end{vmatrix}=1 \neq 0$

$$\begin{cases} x_t&=\cos(x)^2 \\ y_t&=y \\ u_t&=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x&=\arctan(t) \\ y&=y_0 e^{t}\\ u&=u_0=y_0^2 \end{cases} \Rightarrow t=\tan(x), y=y_0 \exp(\tan(x))$$ $$\Longrightarrow u(x,y)=\frac{y^2}{\exp(2\tan(x))}$$ Se puede comprobar fácilmente que ésta es efectivamente la solución de este problema de Cauchy.

(b) $~\begin{vmatrix} \cos^2(x_0) & 1 \\ 0 & 0\end{vmatrix}=0$

$$\begin{cases} x_t&=\cos(x)^2 \\ y_t&=y \\ u_t&=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x&=\arctan(t+\tan(x_0)) \\ y&=0 \\ u&=x_0^2 \end{cases}$$

Como ha observado correctamente, este sistema está infradeterminado.