¿Puede existir un determinado monoide?

Question

¿Es posible tener un monoide conmutativo incontable, donde para cada $a$ en el monoide, $a+a=a$ ?

Tengo un conjunto sobre el que estoy intentando definir una estructura de grupo (aunque me estoy conformando con una estructura monoide). El conjunto es un puñado de clases de equivalencia de los números reales, y estoy intentando ver si sería posible definir la adición de clases mediante la adición de representantes. El problema es que añadir un elemento de cualquier clase a sí mismo, siempre te llevará a la misma clase, así que no estoy seguro de si esto significa que no puedo definir la estructura de esta manera.

También debo añadir, cuando digo que estoy definiendo la adición por adición de representantes, cada clase tiene que tener un representante canónico que se utiliza en la operación de adición, ya que la adición definitivamente depende de la elección del representante.

Answer 1

He aquí algunos antecedentes. Un elemento que satisface $a + a = a$ se llama idempotente . Un monoide conmutativo en el que cada elemento es idempotente se denomina, naturalmente, monoide conmutativo idempotente.

Estas cosas abundan, y de hecho son más o menos equivalentes a (delimitado) (unir-) semilátices que son conjuntos parcialmente ordenados $(P, \le)$ con un fondo / menor elemento $\bot$ (un elemento tal que $\bot \le p$ para todos $p \in P$ ) y binario se une a $p \vee q$ (un elemento tal que $p \le x$ y $q \le x$ si $p \vee q \le x$ ). Las uniones son siempre conmutativas e idempotentes, $\bot$ es el elemento identidad, y el orden parcial se puede recuperar a partir de la operación join, ya que $p \le q$ si $p \vee q = q$ (ejercicio).

Las uniones son una generalización del $\text{max}$ funcionamiento; he aquí algunos ejemplos ilustrativos.

• Los números reales no negativos $\mathbb{R}_{\ge 0}$ están totalmente ordenados (por tanto, en particular, parcialmente ordenados). El elemento inferior es $0$ y la unión es $\text{max}$ .
• Si $X$ es un conjunto cualquiera, el conjunto $P(X)$ de subconjuntos de $X$ está parcialmente ordenada por inclusión. El elemento inferior es el subconjunto vacío, y la unión es la unión.
• El conjunto $\mathbb{N}$ de enteros positivos está parcialmente ordenado por divisibilidad. El elemento inferior es $1$ y la unión es $\text{lcm}$ .
• Si $V$ es cualquier espacio vectorial, el conjunto de subespacios de $V$ está parcialmente ordenado por inclusión. El elemento inferior es el subespacio cero, y la unión es la suma.

Los ejemplos primero, segundo y cuarto dan ejemplos de monoides conmutativos idempotentes incontables; los ejemplos segundo y cuarto, en particular, admiten muchas variaciones. Por ejemplo, se pueden considerar subgrupos de un grupo, subrings de un anillo, submódulos de un módulo, etc.

Answer 2

Claro. Toma. $M = [0..1)$ en $ℝ$ y como operación tomando máximos $$∨~ \colon M × M → M,~(x, y) ↦ \max (x,y).$$ Se obtiene un monoide incontable y conmutativo con cero como identidad y $a ∨ a = a$ para todos $a ∈ M$ .