Saber si las integrales de contorno sobre segmentos de línea que van en la dirección opuesta (o en la misma) dependen de cómo definas tus argumentos.
Sea $\displaystyle I = \int_{1}^{\infty}\frac{x\left(x^{2}+3\right)}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)\sqrt{x^{2}-1}}dx$ , dejemos que $\displaystyle f(z) = \frac{z\left(z^{2}+3\right)}{\left(z^{2}+1\right)\left(z^{2}+4\right)\sqrt{z^{2}-1}}$ y que $\displaystyle g(z) = \frac{z\left(z^{2}+3\right)}{\left(z^{2}+1\right)\left(z^{2}+4\right)}$ . Utilizando la definición compleja de logaritmos, tenemos
$$f(z) = \frac{g(z)}{\exp\left(\frac{1}{2}\ln\left|z+1\right|+\frac{i}{2}\operatorname{arg}\left(z+1\right)\right)\exp\left(\frac{1}{2}\ln\left|z-1\right|+\frac{i}{2}\operatorname{arg}\left(z-1\right)\right)}.$$
Al igual que en la imagen de arriba, vamos a $\operatorname{arg}(z+1) \in (-\pi, \pi)$ y $\operatorname{arg}(z-1) \in (0, 2\pi)$ . Sea $r$ sea la longitud del pequeño espacio entre un segmento de línea y el corte de rama más cercano a él.
Parametrización de la integral sobre $C_1$ (el contorno etiquetado " $1$ "con el círculo alrededor), obtenemos
$$ \int_{C_1}f(z)dz = \int_{1+r+ir}^{R+ir}f(z)dz = \int_{1+r}^{R}f(x+ir)d(x+ir)\\ $$
que es
$$ \int_{1+r}^{R}\frac{g(x+ir)dx}{\exp\left(\frac{1}{2}\ln\left|x+ir+1\right|+\frac{i}{2}\operatorname{arg}\left(x+ir+1\right)\right)\exp\left(\frac{1}{2}\ln\left|x+ir-1\right|+\frac{i}{2}\operatorname{arg}\left(x+ir-1\right)\right)}. $$
En $r \to 0^+$ y $R \to \infty$ obtenemos que la expresión anterior converge a
$$ \int_{1}^{\infty}\frac{g(x)}{\exp\left(\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|+\frac{i}{2}\cdot0\right)\exp\left(\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|+\frac{i}{2}\cdot0\right)}dx = I. $$
Parametrización de la integral sobre $C_3$ obtenemos
$$ \int_{C_3}f(z)dz = \int_{-R+ir}^{-1-r+ir}f(z)dz = \int_{R}^{1+r}f(-x+ir)d(-x+ir)\\ $$
que es
$$ -\int_{R}^{1+r}\frac{g(-x+ir)dx}{\exp\left(\frac{1}{2}\ln\left|-x+ir+1\right|+\frac{i}{2}\operatorname{arg}\left(-x+ir+1\right)\right)\exp\left(\frac{1}{2}\ln\left|-x+ir-1\right|+\frac{i}{2}\operatorname{arg}\left(-x+ir-1\right)\right)}. $$
En $r \to 0^+$ y $R \to \infty$ obtenemos que la expresión anterior converge a
$$ \int_{\infty}^{1}\frac{g(x)}{\exp\left(\frac{1}{2}\ln\left|-x+1\right|+\frac{i}{2}\cdot \pi\right)\exp\left(\frac{1}{2}\ln\left|-x-1\right|+\frac{i}{2}\cdot \pi\right)}dx = I. $$
Parametrización de la integral sobre $C_5$ obtenemos
$$ \int_{C_5}f(z)dz = \int_{-1-r-ir}^{-R-ir}f(z)dz = \int_{1+r}^{R}f(-x-ir)d(-x-ir)\\ $$
que es
$$ -\int_{1+r}^{R}\frac{g(-x-ir)dx}{\exp\left(\frac{1}{2}\ln\left|-x-ir+1\right|+\frac{i}{2}\operatorname{arg}\left(-x-ir+1\right)\right)\exp\left(\frac{1}{2}\ln\left|-x-ir-1\right|+\frac{i}{2}\operatorname{arg}\left(-x-ir-1\right)\right)}. $$
En $r \to 0^+$ y $R \to \infty$ obtenemos que la expresión anterior converge a
$$ \int_{1}^{\infty}\frac{g(x)}{\exp\left(\frac{1}{2}\ln\left|-x+1\right|+\frac{i}{2}\cdot (-\pi)\right)\exp\left(\frac{1}{2}\ln\left|-x-1\right|+\frac{i}{2}\cdot \pi\right)}dx = I. $$
Parametrización de la integral sobre $C_7$ obtenemos
$$ \int_{C_7}f(z)dz = \int_{R-ir}^{1+r-ir}f(z)dz = \int_{R}^{1+r}f(x-ir)d(x-ir)\\ $$
que es
$$ \int_{R}^{1+r}\frac{g(x-ir)dx}{\exp\left(\frac{1}{2}\ln\left|x-ir+1\right|+\frac{i}{2}\operatorname{arg}\left(x-ir+1\right)\right)\exp\left(\frac{1}{2}\ln\left|x-ir-1\right|+\frac{i}{2}\operatorname{arg}\left(x-ir-1\right)\right)}. $$
En $r \to 0^+$ y $R \to \infty$ obtenemos que la expresión anterior converge a
$$ \int_{\infty}^{1}\frac{g(x)}{\exp\left(\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|+\frac{i}{2}\cdot0\right)\exp\left(\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|+\frac{i}{2}\cdot 2\pi\right)}dx = I. $$
