Hace ' $\omega$ -coherencia" significa ser coherente con $\Omega$ ?

Question

En una meta-lógica suficientemente fuerte como ZFC o CC, para cualquier $L_{\Omega}$ -teoría $T$ es $\Omega \models T$ equivalente a la $T$ es $\omega$ -¿Consistente?

Toma, $L_{\Omega}$ es un lenguaje de primer orden cuya firma es $\left\langle + , \cdot , S , 0 , < \right\rangle$ y $\Omega$ es el modelo estándar de $L_{\Omega}$ .

Answer 1

No. Esto se explica (pero no muy claramente, creo) en la página de Wikipedia de $\omega$ -teoría coherente .

Sea $L$ sea un lenguaje que contenga $L_A = \{+,\cdot,S,0,<\}$ el lenguaje de la aritmética. Sea $T$ ser un $L$ -teoría.

• Nosotros decimos $T$ es $\omega$ -inconsistente si hay un $L$ -fórmula $\varphi(x)$ en una variable libre $x$ tal que $T\vdash \varphi(n)$ para cada término $n = S(S(\dots S(0)\dots ))$ que representa un número natural, pero $T\vdash \lnot \forall x\,\varphi(x)$ . En caso contrario, diremos $T$ es $\omega$ -consistente.
• $\omega$ -logic es la lógica de primer orden ampliada con la regla infinitaria con hipótesis $\varphi(0)$ , $\varphi(1)$ , $\varphi(2)$ , $\dots$ y conclusión $\forall x\, \varphi(x)$ . Decimos $T$ es coherente en $\omega$ -lógico si $T$ no demuestra una contradicción en $\omega$ -lógico.
• Nosotros decimos $T$ tiene un $\omega$ -modelo si existe un modelo $M\models T$ tal que el conjunto subyacente de $M$ es $\omega$ y los símbolos de $L_A$ se interpretan de forma estándar en $\omega$ . En el marco de su pregunta, ¿dónde $T$ es un $L_A$ -teoría, la única $\omega$ modelo es $\omega$ (con los símbolos de $L_A$ interpretado de forma estándar). Así que $T$ tiene un $\omega$ -si y sólo si $\omega\models T$ .

Ahora $T$ tiene un $\omega$ -si y sólo si $T$ es coherente en $\omega$ -y estas condiciones implican que $T$ es $\omega$ -consistente. Pero lo contrario no es cierto: hay $\omega$ -teorías coherentes $T$ que no son coherentes en $\omega$ -y, por tanto, no tienen $\omega$ -modelo. En la sección "Aritméticamente incorrecto" se ofrece un ejemplo, $\omega$ -teorías coherentes" en Wikipedia: $\mathsf{PA}+\lnot \omega\mathsf{-ConPA}$ donde $\omega\mathsf{-ConPA}$ es la frase que afirma que $\mathsf{PA}$ es $\omega$ -consistente.

Véase también el debate sobre esta pregunta y esta pregunta .