¿Es armónico el producto en cuña de dos formas armónicas?

Question

• ¿Es armónico el producto en cuña de dos formas armónicas en una variedad riemanniana compacta? Busco un contraejemplo que los libros de texto digan que existe.
• Me gustaría ver un contraejemplo en un colector complejo, en un colector plano de Ricci (o de Einstein) o en ambos, si es posible.
• En general, estoy tratando de entender la interacción entre el producto cuña, la estrella de Hodge y el Laplaciano sobre formas y sus vectores propios, las referencias serán muy apreciadas.

Answer 1

Utilizando la teoría de perturbaciones homológicas, se puede reparar este defecto. Más concretamente, en el espacio de las formas armónicas, existe una $A_\infty$ estructura sin diferencial cuya operación 2-aria (multiplicación) se construye acuñando dos formas armónicas y luego proyectando el resultado de nuevo al espacio de las formas armónicas. Véanse los detalles de la construcción en "Strong homotopy algebras of Kahler manifolds" de S.A. Merkulov (Int. Math. Res. Lett. no. 3 153--164).

EDIT: Además, si el colector es compacto entonces la inclusión natural de formas armónicas en formas arbitrarias se convierte en una equivalencia de $A_\infty$ donde el espacio de todas las formas tiene su estructura habitual de dg-álgebra.