¿Es armónico el producto en cuña de dos formas armónicas?

Question

• ¿Es armónico el producto en cuña de dos formas armónicas en una variedad riemanniana compacta? Busco un contraejemplo que los libros de texto digan que existe.
• Me gustaría ver un contraejemplo en un colector complejo, en un colector plano de Ricci (o de Einstein) o en ambos, si es posible.
• En general, estoy tratando de entender la interacción entre el producto cuña, la estrella de Hodge y el Laplaciano sobre formas y sus vectores propios, las referencias serán muy apreciadas.

Answer 1

Es fácil construir ejemplos sobre superficies de Riemann de género $>1$ . Tome cualquier superficie como esta. Sea $A$ y $B$ sean dos armónicos $1$ -formas, que no son proporcionales. Entonces $A \wedge B$ es distinto de cero, pero desaparece en algún momento, ya que tanto $A$ y $B$ tienen ceros. Al mismo tiempo un armónico $2$ -en una superficie de Riemann es constante. Ejemplos explícitos de $1$ -en superficies de Riemann pueden obtenerse como partes reales de holomorfías $1$ -formas.

Nótese, por supuesto, que el ejemplo anterior es complejo, y que Einstein se limita a tomar la métrica estándar de curvatura $-1$ . Si quieres un ejemplo en un colector plano Ricci debe tomar un $K3$ superficie. Es compleja y admite una métrica plana de Ricci. Ahora bien, su segunda cohomología tiene dimensión $22$ . Ahora debería ser posible encontrar dos formas de dos anti-self-dual cuyo producto cuña desaparece en un punto en $K3$ pero no es idénticamente cero. Esto se debe a que la dimensión del espacio de las formas autoduales es 19, que es lo suficientemente grande como para que se desvanezca en un punto

Answer 2

Generalmente, el producto en cuña de dos formas armónicas no será armónico. Es más difícil encontrar ejemplos que contraejemplos. Por ejemplo, en grupos de Lie compactos con una métrica bi-invariante o, más en general, en espacios simétricos riemannianos, las formas armónicas son invariantes y la invariancia se conserva mediante el producto de cuña. Sin embargo, en general no es así.

Según Kotschick (véase, p. ej, este documento ) que admiten una métrica con esta propiedad se denominan geométricamente formal y su topología está fuertemente restringida. Tiene ejemplos, ya en dimensión 4, de variedades que no son geométricamente formales.

Answer 3

Curiosamente en (24) de hep-th/9603176 se afirma erróneamente que el producto cuña de las formas armónicas es automáticamente armónico. Debido a que es falso todavía no sabemos la existencia prevista de esas dimensiones medias $L^2$ formas armónicas en estas variedades hiperkahlerianas completas no compactas.

Answer 4

He aquí una respuesta evasiva (lo siento de antemano). Considere la forma 0 $f(x)=x$ sur $\mathbb{R}$ . Claramente $f$ es armónico, pero $(f\wedge f)_{x}=x^2$ no lo es. Como el producto cuña es el producto punto a punto de las formas 0, ¡es un ejemplo válido!

Answer 5

He aquí un contraejemplo de la teoría de los nilmanifolds, que por su propia naturaleza no son formales. Tomemos un cociente compacto $H^3/\Gamma$ del grupo de Heisenberg. Admite 1 formas invariantes $e^1,e^2,e^3$ con $de^1=0=de^2$ y $de^3=e^1\wedge e^2$ . Entonces $e^1,e^2$ son armónicos, pero $e^1\wedge e^2$ es exacta, por lo que no es armónica. Se puede tomar un producto con $S^1$ para obtener una superficie compleja (no Kähler) en la que funciona lo mismo, pero no me temo que Ricci-plana o Einstein.