¿Cuántos puntos de la red de enteros ${\mathbb Z}^2$ puede una elipse paralela a un eje de radio $r$ contener en su límite? (es decir, consideramos ${\mathbb Z}^2$ como tumbado en ${\mathbb R}^2$ ). Alternativamente, esto parece ser muy similar a la cuestión de cuántos puntos puede contener el límite de cualquier elipse paralela a un eje de una $r\times r$ de la red de enteros.
Digamos que la elipse se define como $(ax-b)^2+(cy-d)^2=r^2$ . Si $a,b,c,d$ son enteros, podemos reducir el problema a preguntar por el número de soluciones enteras a de una ecuación de la forma $ax^2+by^2=r^2$ con números enteros $a,b$ . Se sabe que tiene como máximo $r^{\frac{c}{\lg \lg r}}$ para alguna constante $c$ . ¿Existe un límite similar para toda elipse paralela a un eje?
Por si sirve de ayuda, me interesa sobre todo el caso en que $a,b,c,d$ no son mucho mayores que $r$ .
