Orientabilidad de superficies y grupo fundamental

Question

Sea $(M,g)$ sea una 3manifold riemanniana compacta y $\Sigma \subset M$ una superficie compacta embebida homeomorfa al plano proyectivo. Consideremos la aplicación $i_\#:\pi_1(\Sigma)\to \pi_1(M)$ dada por $i_{\#}([\alpha])=[i(\alpha)]$ donde $i$ denota la aplicación de inclusión de $\Sigma$ en $M$ . Por qué $i_{\#}$ no inyectiva implica $TM\Big|_{\Sigma}$ ¿orientable?

Answer 1

Orientabilidad de $TM|_\Sigma$ es equivalente a la no trivialidad del haz normal $N\Sigma$ . Denotemos generador de $\pi_1(\Sigma)$ por $\gamma$ ; si tenemos $N\Sigma$ es trivial, entonces $TM|_{i(\gamma)}$ no es orientable, por lo que $\gamma$ no puede ser nulo-homotópico.