Se dan cinco puntos en el plano, de los cuales tres no son colineales. Demostrar que algunos cuatro de ellos forman un cuadrilátero convexo.

Question

Se dan cinco puntos en el plano, de los cuales tres no son colineales. Demostrar que algunos cuatro de ellos forman un cuadrilátero convexo.

Esta pregunta parece muy sencilla, pero al mismo tiempo muy interesante. He intentado dibujar muchos conjuntos de $5$ puntos y todos parecen tener al menos $1$ par de $4$ forman un cuadrilátero convexo, pero ¿cómo demuestro que todos no pueden ser cóncavos? Un cuadrilátero cóncavo es un cuadrilátero en el que al menos una de sus diagonales no está contenida o está parcialmente no contenida en el cuadrilátero.

Además, estoy un poco confundido en el caso en que $4$ los puntos no forman un casco convexo. Tenemos entonces un triángulo con $2$ puntos en él. ¿Cómo garantiza esto un cuadrilátero convexo?

Answer 1

Empieza con 3 puntos en el plano. Estos tres puntos definen un triángulo. Un cuarto punto exterior a este triángulo formará un cuadrilátero convexo. Por lo tanto, para evitar un cuadrilátero convexo, el cuarto punto debe ser interior al triángulo. Un quinto punto siempre permitirá un cuadrilátero convexo porque debe ser exterior al menos a dos de los triángulos definidos por el cuarto punto y dos de los tres primeros puntos.

Answer 2

Si el casco convexo $C$ de los cinco puntos dados es un pentágono convexo o un cuadrilátero convexo hemos terminado. Si $C$ es un triángulo $C:=\triangle(A_0A_1A_2)$ entonces dos de los cinco puntos dados, digamos $P$ y $Q$ se encuentran en el interior de $C$ . La línea $\ell:=P\vee Q$ interseca dos lados de $C$ en puntos interiores. Si $A_1$ y $A_2$ son dos vértices de $C$ en el mismo lado de $\ell$ entonces $A_1$ , $A_2$ , $P$ , $Q$ son los vértices de un cuadrilátero convexo.

Para el prueba puede suponer que $A_0=(0,0)$ , $A_1=(1,0)$ , $A_2=(0,1)$ y que $\ell$ se cruza con $[A_0A_1]$ en $(p,0)$ y $[A_0A_2]$ en $(0,q)$ con $p$ , $q\in\ ]0,1[\ $ . Elija dos puntos cualesquiera $P$ , $Q\in\ell$ en el interior de $\triangle(A_0A_1A_2)$ . Entonces es obvio por inspección que los cuatro puntos $A_1$ , $A_2$ , $P$ , $Q$ forman un cuadrilátero convexo.