¿Hay algún error en la segunda frase de mi prueba? ¿He definido claramente la subsecuencia? Muchas gracias.
$\def\R\{\mathbb{R}}$
Sea $f_m \colon \R\to \R (m=1,2,\dots)$ sea una sucesión de funciones continuas. Demostrar que el siguiente conjunto es un $G_\delta$ configure $$\left\{x\in \R, \limsup_{m\to\infty}\vert f_m(x)\vert = +\infty\right\}.$$
$\textit{Proof.}$ Observe que $\limsup_{m \to \infty} |f_m(x)| = +\infty$ cuando existe una subsecuencia $n_k$ tal que $|f_{n_k}(x)| \to +\infty$ como $k$ tiende a $\infty.$
Así, para cualquier límite $n \in \Bbb N$ podemos indicar $m > n$ tal que $|f_{m}(x)| > m,$ que es equivalente a la condición de subsecuencia.
Así que $x \in \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{m=n}^\infty O_m$ donde $O_m= \{x: |f_m(x)| > m\}$ es abierto por continuidad de $f_m$ y $|f_m|$ . Así, la unión, para cada $n,$ está abierto y vemos $x$ es igual a una intersección de conjuntos abiertos, por lo que es una $G_\delta$ .
