geometría diferencial sintética y otras teorías alternativas

Question

Existen modelos de geometría diferencial en los que el teorema del valor intermedio no es cierto pero toda función es suave. De hecho, tengo un libro sobre la mesa titulado "Models for Smooth Infinitesimal Analysis", de Ieke Moerdijk y Gonzalo E. Reyes, en el que se lleva a cabo la construcción de dichos modelos. Soy bastante nuevo en todo este tema y sólo me tropecé con él porque estaba tratando de encontrar algo como análisis no estándar para geometría diferencial.

Ya me están gustando las formulaciones más naturales de las diferenciales y los vectores tangentes en el nuevo entorno, aunque veo que para dominar todas las complejidades se necesitarán más conocimientos de teoría de categorías, como las topologías de Grothendieck. Así que mis preguntas son un poco filosóficas. Supongamos que alguna conjetura importante se refuta en uno de estos modelos, pero se demuestra que es cierta en el entorno clásico, ¿qué significaría eso exactamente para la geometría diferencial clásica? ¿Es esto posible o me estoy perdiendo algo que excluye esta posibilidad, como un metateorema que diga que todo lo que se puede demostrar en los nuevos modelos se puede demostrar en el modelo clásico habitual? Más concretamente, ¿cuál es la relación exacta entre los nuevos modelos y el clásico? ¿Se podrían hacer comparaciones no triviales? Las referencias para tales discusiones son bienvenidas. Planteo la pregunta aquí porque sospecho que puede haber algún experto familiarizado con la geometría diferencial sintética que sea capaz de iluminar la conexión con la teoría clásica.

Editar : Encontrado un debate muy animado e interesante por John Baez, Andrew Stacy, Urs Schreiber, Tom Leinster y muchos otros en n-categoría café llamado Smooteología comparada aunque no pude distinguir la relación exacta con SDG.

Answer 1

Quizá pueda hacer un poco más explícitas las implicaciones de lo que dijo Harry. Un modelo bien adaptado de SDG incrusta colectores suavizados de forma completa y fiel. Esto en particular significa que el modelo SDG y los manifolds lisos "creen" en los mismos mapas lisos entre manifolds lisos (pero el modelo SDG contiene espacios generalizados que no corresponden a ningún manifold), y además precisamente las mismas ecuaciones se sostienen en el modelo SDG y en manifolds lisos. En este sentido, SDG es conservador: el modelo nunca validará una ecuación inválida que implique mapas suaves entre variedades suaves.

En realidad, la situación es bastante similar a otras situaciones en las que tenemos que distinguir entre la verdad y el significado dentro de un modelo y la verdad y el significado fuera del modelo. Por ejemplo, hay modelos de la teoría de conjuntos que violan el axioma de elección, pero estos modelos se construyen en un entorno en el que el axioma de elección se mantiene. Esto no es ningún misterio ni magia, siempre que recordemos que una afirmación puede tener un significado diferente dentro del modelo y fuera de él. Lo mismo se aplica al SDG: cuando el significado interno de las afirmaciones del modelo se interpreta adecuadamente en el exterior, nada puede ir mal (al fin y al cabo, eso es lo que es un modelo).

Answer 2

De n-lab:

"Un topos T que modela los axiomas de la geometría diferencial sintética se llama (bien) adaptado si la geometría diferencial ordinaria de los múltiples se incrusta en él, en particular si existe un functor completo y fiel Diff →T de la categoría de los múltiples lisos ordinarios a T."

El punto principal aquí es que podemos desarrollar la teoría de forma abstracta, y luego aplicar la teoría a la categoría de variedades diferenciables, que es equivalente a través de este functor a una subcategoría de este bonito topos en el que estamos trabajando. En particular, todos los resultados abstractos se restringen a los resultados clásicos.