Demostrar que esta función es creciente o decreciente

Question

Tenemos una función $$f(x) = e^x - x\int_{0}^{1} z^n e^{-xz} dz$$ que es definida y continua para todo $x \in [-a, 0]$ . También sabemos que $n\in\mathbb{N}$ .

Intento determinar cómo $f(x)$ cambia a medida que $x$ varía en $[-a, 0]$ pero me está costando.

Intenté demostrar que $f(x_1) < f(x_2)$ para $x_1 < x_2$ pero no tuvo éxito. También intenté utilizar algunos resultados de Karlin, S. 1968. Total Positivity. Vol. 1. Stanford University Press, pero me resultó muy complicado.

Necesito un poco de orientación y cualquier comentario o sugerencia serán muy apreciados.

Answer 1

Desde $$\int_{0}^{1} z^n e^{-xz}\, dz=x^{-(n+1)} (\Gamma (n+1)-\Gamma (n+1,x))$$ $$f(x)=e^x-x^{-n} (\Gamma (n+1)-\Gamma (n+1,x))$$

Ampliar como serie $$\Gamma(n+1,x)=\Gamma(n+1)+x^n \sum_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{ x^k}{(k-1)!\,\, (k+n)}$$ $$f(x)=e^x+\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{ x^k}{(k-1)!\,\, (k+n)}=\frac 1{e^{-x}}+\sum_{k=1}^\infty \frac{ (-x)^k}{(k-1)!\,\, (k+n)}$$ y se considera el caso en que $x <0$ . Dejar $x=-y$ tenemos $$g(y)=\frac 1{e^{y}}+\sum_{k=1}^\infty \frac{ y^k}{(k-1)!\,\, (k+n)}$$ donde todos los términos son ahora positivos para $0< y <a$ .

Espero que esto pueda ayudarle.