Aplicando un functor covariante aditivo a una secuencia

Question

Sea $F$ sea un functor covariante aditivo y $0A_1A_1A_2A_20$ sea la sucesión exacta habitual en la categoría de $R$ -módulos con el primer mapa de inyección sobre el primero, y el segundo mapa la proyección sobre el segundo componente. ¿Es cierto que la aplicación de $F$ da una secuencia exacta dividida?

Necesito una prueba detallada para ello y agradezco de antemano cualquier solucionador.

Answer 1

Si tu functor es exacto, entonces la respuesta debería ser sí. Llamemos a la inclusión $\iota: A_1 \to A_1 \oplus A_2$ y la proyección $p: A_1\oplus A_2 \to A_2$ .

Hecho 1: Los funtores aditivos conmutan con coproductos finitos:

Esto significa que $F(A_1 \oplus A_2) \cong F(A_1) \oplus F(A_2)$ .

Habiendo aplicado el functor, tenemos entonces la secuencia exacta

$$ 0 \rightarrow F(A_1) \xrightarrow{F(\iota)} F(A_1) \oplus F(A_2) \xrightarrow{F(p)} F(A_2) \rightarrow 0.$$

Ahora bien $s: A_2 \to A_1 \oplus A_2$ es la sección de $p$ (para que $p\circ s = 1_{A_2}$ ), entonces $1_{F(A_2)} = F(1_{A_2}) = F(p\circ s) = F(p) \circ F(s)$ para que $F(s)$ es el mapa de división.

Si su functor mapea a una categoría en la que la división a la derecha no es suficiente para dividir, haga lo mismo con el mapa de división a la izquierda (que existe en $R$ -mod).

Edición: Tenga en cuenta que no es necesario conocer los mapas $\iota, p$ explícitamente (a pesar de que usted los dio). La prueba depende simplemente de que los funtores aditivos conmuten con coproductos finitos, y de que la identidad y las composiciones se preserven bajo funtores.