Triángulo de Pascal y números primos

Question

Cuando estaba en el instituto, me interesé mucho por la teoría numérica, en concreto por los números primos y los números prefijos. Solía pasarme la noche en vela con un montón de borradores intentando dar con una fórmula para generar/comprobar números primos. Descubrí muchas cosas por mi cuenta como $p(p + 1)/2$ es un número perfecto cuando p es un primo de Mersenne .

Estaba tan obsesionado por aquel entonces que solía hacer cálculos mentales mientras dormía, recuerdo que un día me desperté muy emocionado porque había descubierto que $2^p - 2 = 0 \pmod p$ cuando $p$ es un primo, sólo para descubrir unas semanas más tarde que Pierre de Fermat había una idea similar pero, desafortunadamente no funcionó para pseudoprimes . Yo estaba muy decepcionado en ese entonces y empecé a jugar con el Triángulo de Pascal .

Blaise Pascal, Marin Mersenne y Pierre de Fermat fueron contemporáneos y compartieron pensamientos con letras, de hecho si se piensa un poco tanto la fórmula prima de Mersenne como la prueba de primalidad de Fermat parecen estar estrechamente relacionadas con las filas del triángulo de Pascal (la suma de todos los números de la fila $n$ es $2^n$ donde el primer y el último número son $1$ de ahí el $-1$ en la fórmula de Mersenne y $-1$ o $-2$ en las pruebas de primalidad).

Codifiqué un generador de triángulos Pascal con PHP y HTML que resaltaba todos los números que eran múltiplos de un número específico y los resultados me asombraron, y hasta el día de hoy no sé por qué sucede esto y me gustaría mucho saber por qué. En lugar de intentar explicarlo, publicaré aquí las imágenes.

Ejemplo compuesto:

Un buen ejemplo:

Creo que la diferencia [entre los casos primo y compuesto] es obvia, pero si estás confundido sólo dilo e intentaré profundizar un poco más...

¿Puede alguien explicarme por qué ocurre esto?

Answer 1

Considerando el fenómeno del "Triángulo de Pascal como un entero" (se puede encontrar en google)... y que no puedo calcular o estar seguro de que esta respuesta está probada... Si las líneas del triángulo de Pascal son una prueba para los primos Entonces ... (tal vez) se puede obtener y probar la línea N de esta manera: Usando aritmética entera de precisión arbitraria, en base N, calcula N a la potencia de (1000 a la potencia del número de dígitos del número catalán, más 1), recordando que el 1000+1=10...01 está en base N y debe tener un número par de ceros.

Las potencias aritméticas de enteros de precisión arbitraria pueden realizarse fácilmente en Binario cuando el Multiplicador Binario utiliza shift-and-multiply en lugar de shift-and-add. Pero no se confunda por esta "fácil poderes" fácil"... porque debe hacerse en Base N, y el fenómeno que se sugiere buscar puede producir todas las potencias con una sola fracción en cualquier base, y hace P-Triángulo como si fueran las potencias de 11 en CUALQUIER base entera arbitraria. Qué manera es más rápida debe decidir qué manera de calcularlo.

El cálculo producirá tarde o temprano la línea N, en Base N, y sabrás que N es primo si el Número calculado como línea N tiene 1 seguido de N y múltiplos de N, separados por ceros. Simple ejemplo: 100001 a la potencia de 7 debería ser 1000070002100035000210000700001. (Base 10) Obviamente sobreestimo el número a elevar a la N para la prueba de primos porque los llevados son que evitar, y debe haber ceros pares dentro del "11", y no puedo adivinar en este momento cuanta precisión se necesitaría. Debería haber usado base 7 como ejemplo, y si lo hubiera hecho, usted obtendrías el resultado obviamente probado como 1001 a la potencia 7, base 7 = 1010030050030010001, que agradable y claramente, creo, demuestra que es primo, ya que los múltiplos de 7, base 7 son múltiplos de "10". (1,10,30,50,30,10,1 en órdenes de magnitud correctamente alineados por coeficiente binomial)

Hablo en nombre del descubridor del fenómeno.