Si $y = e^{x(y-1)}$ entonces $y \approx 1-2(x-1)$ cuando $0<x-1<<1$

Question

Supongamos que $y = e^{x(y-1)}$ .

Entonces $y \approx 1-2(x-1)$ cuando $0<x-1<<1$

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Pensé en algo así:

$$ e^{x(y-1)} = e^{-2(x-1)}e^{xy+x-2}=(1-2(x-1)+O(x-1)^2)e^{xy+x-2}$$

Pero no pude probar que $e^{xy+x-2} \approx 1$

¿Alguna idea?

Gracias

Answer 1

Ponga $x:=1+u$ , $\> y:=1+v$ . Entonces su ecuación equivale a $1+v=e^{(1+u)v}$ o $$u={\log(1+v)\over v}-1=-{v\over2}+{v^2\over3}-{v^3\over 4}+\ldots\quad .$$ Para obtener $v$ en términos de $u$ tenemos que invertir la serie de la mano derecha. Cálculo por orden $5$ Mathematica produce $$v=-2u+{8\over3}u^2-{28\over9}u^3+{464\over135}u^4-{1496\over405}u^5 +?u^6\ .$$ De aquí obtenemos $$y=1-2(x-1)+{8\over3}(x-1)^2-{28\over9}(x-1)^3+{464\over135}(x-1)^4-{1496\over405}(x-1)^5 +?(x-1)^6\ ,$$ que es válido para $|x-1|\ll1$ .

Answer 2

Esto no es riguroso, pero le dará un punto de partida: puesto que $e^z \approx 1 + z + \dfrac 12 z^2$ tienes $y = e^{x(y-1)} \approx 1 +x(y-1) + \dfrac 12 x^2 (y-1)^2$ . Es decir, $$y-1 \approx x(y-1) + \frac 12 x^2 (y-1)^2$$ de modo que (tras anular la $y-1$ ) $$1 \approx x + \dfrac 12 x^2 (y-1)$$ y $$y \approx \frac{2}{x^2} (1-x) + 1$$ Desde $0 < x-1 << 1$ se puede aproximar $\dfrac 2{x^2}$ por $2$ .