colinealidad perfecta entre múltiples variables continuas

Question

Cuando existe una colinealidad perfecta entre más de dos variables continuas, ¿cómo se trata y cómo se interpretan los resultados de la regresión?

Tengo tres variables independientes que representan el porcentaje de diferentes razas dentro de diferentes ciudades, Say $x_1$ es el porcentaje de hispanos, $x_2$ es el porcentaje de negros y $x_3$ es el porcentaje de blancos. Lógicamente, $x_1 + x_2 + x_3 = 1$ .

La variable dependiente es la asistencia a la universidad entre la población de distintas ciudades. He eliminado una de las variables independientes ( $x_1$ ) y estimamos la siguiente ecuación:

$\hat{y}=\beta_0 + \beta_1 X_2 + \beta_2 X_3 $

1. ¿Es ésta la mejor manera de abordar este problema?

2. ¿Cómo debo interpretar los coeficientes de $\beta_1$ y $\beta_2$ . Si $\beta_1$ es igual a 3, por ejemplo, ¿debe interpretarse como: con 1 unidad de aumento del porcentaje de negros en la población de la ciudad, la asistencia al colegio aumenta en 3 unidades? ¿O debo considerar la variable omitida (X1: porcentaje de hispanos) como el grupo base y decir que una unidad de aumento en el porcentaje de negros aumenta la asistencia al colegio tres veces más que una unidad de aumento en el porcentaje de hispanos?

Answer 1

El gran problema es, por supuesto, que no se puede interpretar como el efecto de un cambio en un porcentaje mientras se mantiene constante el resto: si el porcentaje de un grupo aumenta, al menos uno de los grupos restantes debe disminuir, de lo contrario se acabaría con más del 100%.

Una solución que puede ayudar es elegir varias composiciones raciales y comparar los resultados previstos de las mismas. Por ejemplo, se pueden tomar las composiciones raciales de dos o más ciudades reales y comparar los resultados previstos de las mismas. Tomar las composiciones de ciudades reales suele ayudar a la comunicación con el público; es más fácil hablar de comparar Berlín con Stuttgart (vivo en Alemania), que comparar una ciudad con $x_1\%$ Negros, $y_1\%$ Hispanos y $z_1\%$ Blancos con una ciudad con $x_2\%$ Negros, $y_2\%$ Hispanos y $z_2\%$ Blancos.

También puede consultar el capítulo 12 de J. Aitchison (2003) Análisis estadístico de datos de composición The Blackburn Press.

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En otro orden de cosas: cuidado con la interpretación de una regresión de este tipo utilizando datos a nivel de ciudad. Los resultados no pueden decir mucho sobre el comportamiento de los individuos. Es lo que se conoce como falacia ecológica:

W. S. Robinson (1950) "Las correlaciones ecológicas y el comportamiento de los individuos" Revista Sociológica Americana vol. 15, nº 3, pp. 351-357.