Demostrar que el polinomio mínimo es mónico

Question

Se me da que $F \subseteq L$ y $L$ es una extensión. Ahora, también me dan $T: L \to L$ , $x \mapsto \alpha x$ y $m(x)\in F[x]$ sea el polinomio mínimo de $T$ en $F$ .

Tengo que demostrar que $m$ es también el polinomio mónico en $F[x]$ de grado mínimo para el que $m(\alpha)=0$ lo que significa demostrar que $m$ es el polinomio mínimo de $\alpha$ en $F$ .

Ahora, creo que normalmente estamos familiarizados con mostrar y definir el polinomio mínimo por lo que he dicho en la tercera frase. Esta pregunta te pide que demuestres lo contrario, y no estoy seguro de cómo empezar. ¿Algún consejo sobre cómo empezar? La ayuda sería apreciada.

Gracias, señor.

Answer 1

Sigue estos pasos:

(1) Compruebe que $\alpha$ es una raíz de $m(x)$ .

En efecto, puesto que $T=\alpha Id$ y $m(T)=0$ , $$ \begin{array}{rcl} m(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0 & \Rightarrow & 0=m(T)=a_n\alpha^nId+...+a_1\alpha Id+a_0Id \\ & \Rightarrow & (a_n\alpha^n+...+a_1\alpha+a_0)Id = 0 \\ & \Rightarrow & m(\alpha) = a_n\alpha^n+...+a_1\alpha+a_0 = 0. \end{array} $$ (2) Puesto que $\alpha$ es una raíz de $m(x)$ el polinomio mínimo de $\alpha$ en $F$ , $m_\alpha(x)\in F[x]$ divide $m(x)$ .

(3) Pero entonces, puesto que $m(x)$ es irreducible, el hecho de que $m_\alpha(x)$ divide $m(x)$ implica que $m(x)=m_\alpha(x)$ .