Ejemplo de álgebra C* no nuclear

Question

Una álgebra C $A$ se llama nuclear si existe una única norma C* cruzada en el producto tensorial algebraico $A\otimes B$ para cualquier otra álgebra C $B$ . Es equivalente que las normas mínima (espacial) y máxima en $A\otimes B$ coinciden.

Lo sé (cf. esta pregunta de MathOverflow ) que un ejemplo de álgebra C* no nuclear ist $C_r^\ast(\mathbb F_2)$ donde $\mathbb F_2$ es el grupo libre sobre dos generadores y $C_r^\ast(\mathbb F_2)$ denota su grupo reducido C*-álgebra.

Ahora mi pregunta es: ¿Existe un explícito ejemplo de álgebra C $B$ tales que las normas mínima y máxima en $C_r^\ast(\mathbb F_2)\otimes B$ no coinciden? En explícito Me refiero a que uno puede escribir ambas normas y ver que son diferentes, por ejemplo, evaluándolas en algún elemento concreto. ¿Hay ejemplos más fáciles para otras álgebras C* en lugar de $C_r^\ast(\mathbb F_2)$ ?

Answer 1

La prueba original de Takesaki de que $C_r^*(\mathbb F_2)\otimes C_r^*(\mathbb F_2)$ admite al menos dos normas tensoriales diferentes es lo más "explícito" que puede ser, aunque no puede calcular explícitamente normas de elementos.

El problema aquí es con la palabra "explícito": es una noción relativa. Quieres un elemento específico del producto tensorial. Y quieres un cálculo explícito de su norma. Hasta donde yo sé, con la excepción de ejemplos triviales muy cuidadosamente elaborados, no hay forma de calcular explícitamente la norma de $\sum_ja_j\otimes b_j$ .

Answer 2

En respuesta a tu segunda pregunta (aunque depende de lo que entiendas por "más fácil"), lo siguiente $C^*$ -El álgebra está bien entendida: $B(H)$ para un espacio de Hilbert de dimensión infinita no es nuclear [S. Wassermann, "on Tensor products of certain group $C^*$ -algebras"].

Saludos