Tengo dos BVP y para ambos la solución es similar, sin embargo hay una cosa que no me explico. En primer lugar voy a exponer los BBVP's. El primero es
$$(1)= \begin{cases} &u_{rr}+r^{-1}u_r+r^{-2}u_{\theta\theta} = 0&&,1<r<2,|\theta|\leq \pi,\\ &u(1,\theta) = 0&&, \theta\leq \pi\\ &u(2,\theta) = 1-\frac{\theta^2}{\pi^2}&&, \theta\leq \pi \end{cases} $$
Y la segunda es
$$(2)= \begin{cases} u_{rr}+r^{-1}u_r+r^{-2}u_{\theta\theta} = 0&&,0<r<1,|\theta|\leq \pi,\\ u(1,\theta) = \sin^2\theta + \cos\theta&&,\theta\leq \pi\\ \end{cases} $$
En ambos casos, se puede dejar que $u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta)$ y después de insertar esto en la EDP, se puede escribir
$$r^2\frac{R''}{R}+r\frac{R'}{R}=-\frac{\Theta''}{\Theta}=\lambda, \ \text{where} \ \lambda=\text{constant.}\tag3$$
Desde el $\Theta-$ parte es más fácil que empecemos por esa. Como estamos trabajando en discos/anillos necesitamos que la solución sea $2\pi-$ periódico. Así, la solución tiene la forma (hasta múltiplos constantes) $\Theta=e^{in\theta},$ donde $n\in\mathbb{Z}.$ Introduciendo esto en la ODE, $\Theta''=-\lambda\Theta$ da $\lambda=n^2.$ Así
$$\Theta_n(\theta)=e^{in\theta}. \tag4$$
Utilizando $(3)$ podemos resolver para $R(r)$ desde $r^2R''+rR'=\lambda R=n^2R,$ reordenando tenemos simplemente la ecuación de Euler
$$r^2R''+RR'-n^2R=0.$$
Hasta ahora, ambos $(1)$ y $(2)$ puede resolverse así. Pero aquí vienen las diferencias. En las notas de $(1)$ mi profesor dice eso:
Debemos examinar las soluciones de la ecuación de Euler para dos casos: $n=0$ y $n\neq 0.$
Pero en las notas de $(2)$ no lo hace y sólo considera $n\neq 0.$
¿Qué hay en el planteamiento del problema que marque esta diferencia?
