¿Ejemplo de función continua que es analítica en el interior pero no puede continuarse analíticamente?

Question

Busco un ejemplo de función $f$ que es 1) continua en el disco unitario cerrado, 2) analítica en el interior y 3) no puede extenderse analíticamente a ningún conjunto mayor. Un ejemplo concreto sería lo mejor, pero una prueba de que existen también estaría bien (de hecho, no estoy seguro de que existan).

Conozco ejemplos de funciones analíticas que no pueden extenderse desde el disco unitario. Tomemos por ejemplo una serie de potencias lacuanarias con radio de convergencia 1. Pero no estoy seguro de si alguna de ellas define una función continua en el disco unitario cerrado.

Answer 1

Sugiero esta función: $$f(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n!}}{n^2}.$$ Converge uniformemente en el disco unitario cerrado, y las derivadas explotan al acercarse radialmente a cualquier raíz de la unidad.

Answer 2

Sea $f(z) = \sum z^n/n^2$ que es continua y acotada en el disco unitario cerrado pero no analítica cerca de $1$ . A continuación, considere

$$\sum f(z^n)/n^2.$$

Esta debe tener una singularidad en cada raíz de la unidad; y debe ser analítica en el interior porque es uniformemente convergente.

Answer 3

He aquí un ejemplo muy concreto:

$ g(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2^n + 1}}{2^n + 1}. $

La serie de potencias converge uniformemente a una función continua en el disco unitario cerrado. Diferenciando obtenemos $g'(z) = f(z)$ con

$ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}z^{2^n}. $

Esto es el ejemplo estándar de una función con un límite natural. Es evidente que $f(x) \rightarrow +\infty$ como $x \rightarrow 1^{-}$ en el eje real. La ecuación funcional

$ f(z) = z + f(z^2) $

muestra que $f(x) \rightarrow + \infty$ como $x \rightarrow (-1)^{+}$ en el eje real, entonces $|f(z)| \rightarrow \infty$ como $z$ tiende radialmente a ${\pm}i$ y así sucesivamente, de modo que $|f(z)|$ tiende a $\infty$ como $z$ tiende radialmente a cualquier raíz de la unidad de orden $2^m$ . Por lo tanto $f(z)$ tiene un conjunto denso de singularidades en el círculo unitario, y lo mismo ocurre con $g(z)$ Así pues $g(z)$ tiene como límite natural el círculo unitario.

Answer 4

Se puede invocar Teorema de Carathéodory .

Si $U$ i de la comp Curva de Jordania a Mapa de Riemann $f : U \to \mathbb D$ se extiende continuamente hasta el bo y la extensión es una hom $\partial U \to S^1$ en la frontera.

Para obtener la función sougth, basta con considerar un conjunto abierto simplemente conexo $U\subset \mathbb C$ que tiene como frontera una curva de Jordan analítica en ninguna parte y tomamos la inversa del mapa de Riemann de $U$ .

Answer 5

Encontré algunas cosas interesantes en Remmert's Temas clásicos de la teoría de funciones complejas .

Teorema de la brecha de Fabry permite construir muchos ejemplos, incluidos algunos ya mencionados. Enunciado para el disco unitario, dice:

Si $m_1,m_2,\ldots$ es una secuencia de números enteros positivos tal que $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}\frac{m_n}{n}=\infty$ y si $\displaystyle{f(z)=\sum_{n=1}^\infty a_nz^{m_n}}$ tiene radio de convergencia 1, entonces el disco unitario es el dominio de holomorfía de $f$ .

Por ejemplo, si $p_n$ es el $n^{th}$ primo, entonces $$f(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{p_n}}{n^2}$$ converge uniformemente en el disco cerrado y, por tanto, es continua. No es analíticamente extensible a ningún conjunto mayor porque satisface las hipótesis del teorema de Fabry.

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Un resultado interesante que permite obtener muchas de estas funciones de forma no constructiva es un teorema de Fatou-Hurwitz-Pólya:

Si $\displaystyle{f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n}$ tiene radio de convergencia 1, entonces el conjunto de funciones $$f_\epsilon(z)=\sum_{n=0}^\infty \epsilon_na_nz^n$$ para $\epsilon_n\in\{\pm1\}$ cuyo dominio de holomorfía es el disco unitario tiene cardinalidad $2^{\aleph_0}$ .

Hausdorff demostró además que si $\displaystyle{\lim_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}$ existe (y es igual a 1) entonces el conjunto de tales funciones cuyo dominio de holomorfía es no el disco unitario es a lo sumo contable. Esto se aplica en particular a la función $\displaystyle{f(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n^2}}$ que, por lo tanto, da ejemplos cambiando los signos de los coeficientes de todas las maneras posibles.

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Una más, esta vez un ejemplo explícito de Remmert: La serie $$f(z)=1+2z+\sum_{n=1}^\infty\frac{z^{2^n}}{2^{n^2}}$$ es unívoca y tiene derivadas reales de todos los órdenes en el disco cerrado, y tiene el disco abierto como dominio de holomorfía.

Referencia: Remmert's Temas clásicos de la teoría de funciones complejas , páginas 252 -258. (Fatou-Hurwitz-Pólya figura en una página sin vista previa).